Sequentieller Likelihood-Quotienten-Test

Statt mit einem festen Stichprobenumfang einen statistischen Test durchzuführen, wird beim Sequential Probability Ratio Test (SPRT) nach jeder gemachten Beobachtung aufgrund aller bisher erfassten Daten getestet, ob eine Entscheidung für oder wider der Nullhypothese getroffen werden kann. Sollte dies nicht der Fall sein wird die Beobachtung solange fortgesetzt bis diese Entscheidung getroffen werden kann.

Geschichte

Entwickelt wurde der SPRT von A. Wald 1942 in den USA. Anwendung fand es vor allem in der Rüstungsindustrie, sodass eine allgemeinzugängliche Publikation erst 1947 erfolgte.

Definition

Untersucht wird die Realisation einer Zufallsgröße mit der Verteilung $f(x;\theta )$ und dem unbekannten Parameter $\theta$. Es wird dabei die Nullhypothese $H_{0}:\theta =\theta _{0}$ gegen die Alternativhypothese $H_{1}:\theta =\theta _{1}$ getestet. Dabei soll $H_{0}$ mit höchstens $\alpha$ und $H_{1}$ mit höchstens $\beta$ als Irrtumswahrscheinlichkeit abgelehnt werden.

Der SPRT ist definiert durch den Likelihood Quotienten ${\mathfrak {L}}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {f(x;\theta _{1})}{f(x;\theta _{0})}}$ als Teststatistik und den Entscheidungsgrenzen A und B.

Für die Teststatistik gelten folgende Entscheidungsregeln:

• Fortsetzung der Beobachtung, wenn gilt: $B<{\mathfrak {L}}<A$
• Annahme von $H_{1}$, wenn gilt: ${\mathfrak {L}}\geq A$
• Annahme von $H_{0}$, wenn gilt: ${\mathfrak {L}}\leq B$

Die Entscheidungsgrenzen

Die Festlegung von A und B muss derart gestaltet sein, das $\alpha$ und $\beta$ eingehalten werden. Dies ist der Fall, falls:

$A={\frac {1-\beta }{\alpha }}$

$B={\frac {\beta }{1-\alpha }}$

Die Wahrscheinlichkeit $P_{1}(\theta )$ die untere Grenze zu erreichen bzw zu überschreiten wird durch die Operating Characteristic Function angegeben. Die Wahrscheinlichkeit $P_{0}(\theta )$ die Alternativehypothese anzunehmen, und somit die obere Grenze zu überschreiten wird durch die Powerfunktion beschrieben. Dabei gilt das $P_{0}(\theta )+P_{1}(\theta )=1$.

Beispiel

Als Beispiel soll die Herleitung des SPRT für einen 1-Stichprobenvergleich bei binären Daten dienen.

In einer klinischen Studie wird ein neues Medikament in einer Phase II Studie getestet. Dabei soll die Studie abgebrochen werden, sobald der Anteil an Patienten mit Nierenversagen innerhalb der ersten 24 Stunden ≥ 25 % ist. Ein Anteil von 10 % ist normal und annehmbar. Die vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeiten sind $\alpha$ und $\beta$.

Nach dem i-ten Patienten, liegen y Beobachtungen mit und i-y Beobachtungen ohne Nierenversagen vor. Entsprechend dem Binomialkoeffizienten ist ${\mathfrak {L}}={\frac {{\tau _{1}}^{y}(1-\tau _{1})^{i-y}}{{\tau _{0}}^{y}(1-\tau _{0})^{i-y}}}$.

Den Fortsetzungsbereich des SPRT erhält man nun durch Logarithmieren und Umformen:

${\frac {\ln {({\frac {\beta }{1-\alpha }}})}{\ln {({\frac {\tau _{1}(1-\tau _{0})}{\tau _{0}(1-\tau _{1})}})}}}+{\frac {\ln {({\frac {1-\tau _{0}}{1-\tau _{1}}})}}{\ln {({\frac {\tau _{1}(1-\tau _{0})}{\tau _{0}(1-\tau _{1})}})}}}\cdot i<y<{\frac {\ln {({\frac {1-\beta }{\alpha }}})}{\ln {({\frac {\tau _{1}(1-\tau _{0})}{\tau _{0}(1-\tau _{1})}})}}}+{\frac {\ln {({\frac {1-\tau _{0}}{1-\tau _{1}}})}}{\ln {({\frac {\tau _{1}(1-\tau _{0})}{\tau _{0}(1-\tau _{1})}})}}}\cdot i$

Bei $\tau _{0}=0{,}1$, $\tau _{1}=0{,}25$, $\alpha =0{,}001$, $\beta =0{,}2$ ergibt sich $-1{,}46+0{,}1659\cdot i<y<6{,}08+0{,}1659\cdot i$ als Fortsetzungsbereich.

Literatur

• Abraham Wald: Sequential Analysis John Wiley & Sons, New York NY u. a. 1947.
• B.K. Ghosh: Sequential Tests of Statistical Hypotheses. Reading: Addison-Wesley 1970
• Peter Bauer, Viktor Scheiber, Franz X. Wohlzogen: Sequentielle statistische Verfahren. Fischer, Stuttgart u. a. 1986, ISBN 3-437-20343-6.
• Albrecht Irle: Sequentialanalyse: Optimale sequentielle Tests. Stuttgart: Teubner 1990
• Holger Wilker: Sequential-Statistik in der Praxis, BoD, Norderstedt 2012, ISBN 978-3848232529.