Stochastische Unabhängigkeit

Stochastische Unabhängigkeit ist ein fundamentales wahrscheinlichkeitstheoretisches Konzept, welches die Vorstellung von sich nicht gegenseitig beeinflussenden Zufallsereignissen formalisiert. Sind zwei Ereignisse stochastisch unabhängig, dann ändert sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das eine eintritt, nicht, wenn das andere eintritt (beziehungsweise nicht eintritt).

Zum Beispiel geht man davon aus, dass zwei Würfe einer Münze voneinander unabhängig sind, wenn das Ergebnis des zweiten Wurfs nicht vom Ergebnis des ersten Wurfs abhängt. Als Beispiel für zwei voneinander abhängige Ereignisse kann man die Regenwahrscheinlichkeit an zwei aufeinander folgenden Tagen ansehen.

Insbesondere Ereignisse, die mit positiver Wahrscheinlichkeit eintreten und sich gegenseitig ausschließen oder bedingen, sind voneinander abhängig. Dass Ereignisse sich gegenseitig ausschließen, wird häufig mit deren Unabhängigkeit verwechselt.

Stochastische Unabhängigkeit wird auch für Zufallsvariablen und Ereignisalgebren (σ-Algebra) definiert. Bei Zufallsvariablen ist die Unkorreliertheit eine verwandte, schwächere Eigenschaft. Die Definition geht auf De Moivre zurück.

Stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse

Definition

Es sei (Ω,Σ,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und $A, B \in \Sigma$ seien zufällige Ereignisse, also messbare Teilmengen der Ergebnismenge Ω.

Die Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn

$P ( A \cap B ) = P ( A ) \cdot P ( B ),$

gilt. Zwei Ereignisse sind also stochastisch unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten, gleich dem Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten ist.

Wenn eines der Ereignisse (z. B. B) die Wahrscheinlichkeit 0 hat, dann gilt auch $P(A \cap B)=0$ und obige Definitionsgleichung ist erfüllt, ebenso wenn B die Wahrscheinlichkeit 1 hat, dann ist $P(A \cap B)=P(A)$. Deshalb erhält man die trivialen Aussagen, dass jedes Ereignis A sowohl von jedem fast unmöglichen als auch von jedem fast sicheren Ereignis unabhängig ist.

Lässt man diese Trivialfälle außer Acht, dann erhält man unter Verwendung des wichtigen Begriffes der bedingten Wahrscheinlichkeit die folgenden äquivalenten Definitionen:

Zwei Ereignisse A und B mit P(A), P(B) > 0 sind genau dann unabhängig, wenn

• $P(A|B) \; = P(A)$

oder dazu äquivalent

• $P(A|B) \; = P(A|\bar B).$

Insbesondere die letzte beiden Definition zusammen sagen aus: Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses A hängt nicht davon ab, ob das Ereignis $B\,$ oder $\bar B$ eintritt. Da die Rollen von A und B auch vertauscht werden können, sagt man die beiden Ereignisse sind unabhängig voneinander!

Beispiel

Betrachtet wird ein Wurf mit einem „idealen“ Würfel. Die Grundmenge Ω des Wahrscheinlichkeitsraumes sei also Ω = {ω₁,...,ω₆}, wobei ω_i für das Elementarergebnis „die Zahl i wird gewürfelt“ steht. Die Sigma-Algebra Σ sei die Potenzmenge von Ω und das Wahrscheinlichkeitsmaß P ist definiert durch P({ω_i}) = 1 / 6 für alle $1 \le i \le 6$.Es werden nun zwei Ereignisse A und B definiert, wobei A = { es wird eine gerade Zahl gewürfelt } = {ω₂,ω₄,ω₆} und B = { es wird eine durch drei teilbare Zahl gewürfelt } = {ω₃,ω₆} bedeuten sollen. Nach Definition des Wahrscheinlichkeitsmaßes ist also P ( A ) = 3 / 6 = 1 / 2 und P ( B ) = 2 / 6 = 1 / 3. Für den Durchschnitt von A und B (das heißt es wird eine sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbare Zahl gewürfelt), erhält man $A \cap B = \{ \omega_6 \}$ und damit $P ( A \cap B ) = 1/6$. Wegen

$P(A) \cdot P(B) = \frac12 \cdot \frac13 = \frac16 = P(A \cap B)$

sind also die Ereignisse { es wird eine gerade Zahl gewürfelt } und { es wird eine durch drei teilbare Zahl gewürfelt } unabhängig.

Geschichte

Das Konzept nahm in Untersuchungen von Abraham de Moivre und Thomas Bayes über Glücksspiele mit Ziehen ohne Zurücklegen Gestalt an, auch wenn zuvor Jakob I. Bernoulli implizit darauf aufbaut. De Moivre definiert in The Doctrine of Chance 1718

“… if a Fraction expresses the Probability of an Event, and another Fraction the Probability of an another Event, and those two Events are independent; the Probability that both those Events will Happen, will be the Product of those Fractions.”

Und in einer späteren Ausgabe

“Two Events are independent, when they have no connexion one with the other, and that the happening of one neither forwards nor obstructs the happening of the other.”

Das letztere ist Vorläufer der Darstellung von stochastischer Unabhängigkeit über bedingte Wahrscheinlichkeiten P(A | B) = P(A). Die erste formal korrekte Definition der stochastischen Unabhängigkeit wurde 1900 von Georg Bohlmann gegeben.

Stochastische Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse

Definition

Sei (Ω,Σ,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, I eine nichtleere Indexmenge und $(\Sigma_i)_{i\in I}$ mit $\Sigma_i\subset \Sigma$ für alle $i\in I$ eine Menge nichtleerer Mengensysteme, so heißen $(\Sigma_i)_{i\in I}$ stochastisch unabhängig, wenn für jede endliche Teilmenge, $J\subset I$ und alle Wahlen $A_j\in\Sigma_j$ mit $j\in J$ gilt:

$P\left(\bigcap_{j\in J} A_j\right) = \prod_{j\in J} P\left(A_j\right)$.

Eine Menge von Zufallsvariablen heißt stochastisch unabhängig, wenn ihre Urbild-σ-Algebren stochastisch unabhängig bezüglich obiger Definition sind.

Beispiel

Folgendes Beispiel von Bernstein (1927) zeigt die paarweise Unabhängigkeit von drei Ereignissen A₁, A₂ und A₃, die aber nicht gemeinsam (also A₁, A₂ und A₃ gleichzeitig) unabhängig sind (ein ähnliches Beispiel wurde bereits 1908 von Georg Bohlmann gegeben).

In einer Schachtel befinden sich 4 Zettel mit folgenden Zahlenkombinationen: 112, 121, 211, 222. Einer der Zettel wird zufällig (je mit Wahrscheinlichkeit 1/4) gezogen. Wir betrachten dann folgende drei Ereignisse:

$A_1 = \lbrace 1 \ \mathrm{an \ erster \ Stelle} \rbrace$ mit $P(A_1) = \frac{1}{2}$

$A_2 = \lbrace 1 \ \mathrm{an \ zweiter \ Stelle} \rbrace$ mit $P(A_2) = \frac{1}{2}$

$A_3 = \lbrace 1 \ \mathrm{an \ dritter \ Stelle} \rbrace$ mit $P(A_3) = \frac{1}{2}$

Offensichtlich sind die drei Ereignisse paarweise unabhängig, da gilt

$P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2) = \frac{1}{4}$

$P(A_1 \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(A_3) = \frac{1}{4}$

$P(A_2 \cap A_3) = P(A_2) \cdot P(A_3) = \frac{1}{4}$

Die drei Ereignisse sind jedoch nicht (gemeinsam) unabhängig, da gilt

$P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = 0 \ne \frac{1}{8} = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3)$

Des Weiteren kann aus $P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3)$ nicht geschlossen werden, dass die drei Ereignisse paarweise unabhängig sind.

Stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

Definition

Seien $X:(\Omega, \mathcal A,P) \rightarrow (\Sigma, \mathcal B )$ und $Y:(\Omega,\mathcal A,P) \rightarrow (\Sigma', \mathcal B' )$ Zufallsvariablen. Dann heißen X und Y stochastisch unabhängig, falls

$P(X \in A, Y \in B) = P(X \in A)P(Y \in B)$

für alle $A \in \mathcal B$ und alle $B \in \mathcal B'$.

Bemerkungen

Bei methodisch korrektem Vorgehen kann man nicht einfach Unabhängigkeit vermuten, sondern man muss sie anhand obiger Formel überprüfen. Dabei ist meistens die gemeinsame Wahrscheinlichkeit P(A ∩ B) nicht von vornherein gegeben. Bei der praktischen Auswertung erhobener Daten kann man beispielsweise mit einem χ²-Test die Merkmale auf stochastische Unabhängigkeit testen.

Für die Analyse auf Abhängigkeit zweier Zufallsvariablen kann man auch testen, ob der Korrelationskoeffizient Null ist. Wenn die Hypothese abgelehnt wird, geht man davon aus, dass diese Variablen stochastisch abhängig sind. Der Umkehrschluss ist allerdings nicht zulässig, denn es können Abhängigkeitsstrukturen vorliegen, die der Korrelationskoeffizient nicht erfassen kann. Jedoch sind beispielsweise unkorrelierte, gemeinsam normalverteilte Zufallsvariablen auch stochastisch unabhängig.

Noch etwas weiter wird der Begriff der stochastischen Unabhängigkeit von Zufallsvariablen von Filtrationen gefasst: X heißt von $\mathcal{F}$ unabhängig, wenn für $F\in\mathcal{F}$ gilt:

$\int_F X\, dP=\int_\Omega X I_F\, dP=\int_\Omega X\, dP \int_\Omega I_F\, dP.$

Siehe auch

• Zufall, Bedingte Wahrscheinlichkeit, Zusammenhangsmaß
• Korrelationskoeffizient, Multivariate Verteilung, Reproduktivität

Literatur

• N. Henze: Stochastik für Einsteiger, 8. Auflage, Verlag Vieweg+Teubner, 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, Kapitel 16.
• A. M. Prochorow: Independence. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 ([1]).

Weblinks

 Wikibooks: Einführung in stochastische Unabhängigkeit – Lern- und Lehrmaterialien