Verallgemeinerung der Fibonacci-Folge

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Eine Verallgemeinerung der Fibonacci-Folge ist entweder eine Erweiterung der Fibonacci-Folge auf größere Definitionsbereiche als die natürlichen Zahlen oder eine Verallgemeinerung des Bildungsgesetzes.

Erweiterung auf größere Definitionsbereiche[Bearbeiten]

Erweiterung auf alle ganzen Zahlen[Bearbeiten]

Wenn man das Bildungsgesetz der Fibonacci-Folgen umkehrt, erhält man

f_{n-2} = f_n - f_{n-1}.

Mit dieser Formel kann man rekursiv Fibonacci-Zahlen zu negativen ganzen Zahlen berechnen. Ferner gilt die Formel von Moivre-Binet auch für negative ganze Zahlen: Für den goldenen Schnitt \varphi gilt:

1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi \Leftrightarrow \frac{1}{\varphi} = \varphi - 1 \Leftrightarrow 1 - \varphi - 1 = \frac{1}{1-\varphi}

Definiert man \psi = 1 - \varphi, so folgt aus

\tfrac{\varphi^0-\psi^0}{\sqrt5} = 0 = f_0, \tfrac{\varphi^1-\psi^1}{\sqrt5} = 1 = f_1

und

f_{-(n+1)} = f_{-(n-1)-2} = f_{-(n-1)} - f_{-n}
 = \frac{\varphi^{-n+1} - \psi^{-n+1}}{\sqrt{5}} - \frac{\varphi^{-n} - \psi^{-n}}{\sqrt{5}} 
= \frac{\frac{\varphi - 1}{\varphi^n} - \frac{\psi- 1}{\psi^n}}{\sqrt{5}} = \frac{\varphi^{-(n+1)} - \psi^{-(n+1)}}{\sqrt{5}}

mit vollständiger Induktion:

f_{-n} = \frac{\varphi^{-n} - (1 - \varphi)^{-n}}{\sqrt{5}}

Erweiterung auf alle komplexen Zahlen[Bearbeiten]

Die geschlossene Form für die n-te Fibonacci-Zahl lautet für ganze Zahlen (siehe oben):

f_n = \frac{\varphi^n - (1 - \varphi)^n}{\sqrt{5}}, \qquad n \in \mathbb Z,

wobei \varphi der goldene Schnitt ist. Für den goldenen Schnitt \varphi gilt die folgende Gleichung:

1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi \Leftrightarrow (-1)\frac{1}{\varphi} = 1 - \varphi \Rightarrow (1 - \varphi)^n = (-1)^n \left(\frac{1}{\varphi}\right)^n = (-1)^n \varphi^{-n}

Ist n eine ganze Zahl, dann gilt jedoch:

(-1)^n = \cos(n \pi)

Deshalb ist die stetige und analytische [1] Funktion

Fib(x) = \frac{\varphi^x - \cos(x \pi)\varphi^{-x}}{\sqrt{5}}

eine Fortsetzung der Fibonacci-Zahlen auf den komplexen Zahlen.

Verallgemeinerung des Bildungsgesetzes[Bearbeiten]

Lucas-Folge[Bearbeiten]

Die Fibonacci-Folge ist ein Spezialfall der Lucas-Folge.

Folgen mit ähnlichem Bildungsgesetz[Bearbeiten]

Folgen in den komplexen Zahlen[Bearbeiten]

Sei (g_n)_{n \in \mathbb N _0} eine Folge in \mathbb C, die für n \ge 0 durch das rekursive Bildungsgesetz

g_{n+2} = g_{n+1} + g_n

definiert ist, so ist eine solche Folge eine Verallgemeinerung der Fibonacci-Folge, da diese entsteht, wenn man g_0 = 0 und g_1 = 1 setzt. Für das n-te Folgenglied dieser Folge gibt es einen geschlossenen Ausdruck:

g_n = f_n \cdot g_1 + f_{n-1} \cdot g_0, \quad n \ge 0,

wobei f_n die n-te Fibonacci-Zahl ist. Dies folgt aus vollständiger Induktion mit Induktionsanfang

g_0 = 0 \cdot g_1 + 1 \cdot g_0 = f_0 \cdot g_1 + f_{-1} \cdot g_0

und Induktionsschritt

g_n = g_{n-1} + g_{n-2} = g_1 \cdot (f_{n-1} + f_{n-2}) + g_0 \cdot (f_{n-2} + f_{n-3}) = g_1 \cdot f_n + g_0 \cdot f_{n-1}

Folgen von Vektoren[Bearbeiten]

Ist V ein Vektorraum und sind g_0, g_1 \in V, kann man eine Folge (g_n)_{n \in \mathbb N_0} von Vektoren g_n \in V rekursiv definieren durch

g_{n+2} = g_{n+1} + g_n, \quad n \ge 0.

Wie oben gilt dann die Formel

g_n = f_n \cdot g_1 + f_{n-1} \cdot g_0, \quad n \ge 0.

Vektorraum der Fibonacci-Folgen[Bearbeiten]

Wegen der Gleichung

g_n = f_n \cdot g_1 + f_{n-1} \cdot g_0, \quad n \ge 0

kann man die Menge der Folgen (g_n)_{n \in \mathbb N _0} mit g_{n+2} = g_{n+1} + g_n auch als einen unendlichdimensionalen \mathbb C-Vektorraum auffassen, für den (f_n)_{n \in \mathbb N _0} und (f_{n-1})_{n \in \mathbb N _0} die Basis bilden.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. http://web.archive.org/web/20091027103713/http://geocities.com/hjsmithh/Fibonacc/FibWhat.html