Äquivarianter Schätzer

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Ein äquivarianter Schätzer ist ein spezieller Punktschätzer in der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Äquivariante Schätzer zeichnen sich im einfachsten Fall dadurch aus, dass eine Transformation der Daten zu einer identischen Transformation des Schätzwertes führt. Verschiebt man die Daten also um einen gewissen Wert, so ist der Schätzwert ebenso um diesen Wert verschoben.

Für äquivariante Schätzer lassen sich einige Optimalitätsbedingungen leichter zeigen. So sind beispielsweise unter gewissen Zusatzannahmen lokal minimale äquivariante Schätzer immer auch gleichmäßig beste erwartungstreue Schätzer. Wichtige äquivariante Schätzer sind die Pitman-Schätzer.

Gegeben sei ein statistisches Modell mit . Sei eine Gruppe von bijektiven, messbaren Transformationen von nach und es gelte für alle

.

Dann induziert über den Zusammenhang

eine Gruppe auf .

Des Weiteren sei

Dann heißt ein Punktschätzer

ein äquivarianter Schätzer, wenn

gilt.

Äquivariante Schätzer im Lokationsmodell

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Sei ein Lokationsmodell, also ein statistisches Modell mit Lokationsklasse , die von dem Wahrscheinlichkeitsmaß erzeugt wird. Sei

,

die Gruppe der Translationen in entlang dem Einsvektor um .

Dann gilt wie oben gefordert

für alle . Für gilt dann

,

da in der Lokationsklasse liegt. Somit ist die induzierte Gruppe auf gegeben durch die Translationen um .

Demnach ist ein Punktschätzer in diesem Modell genau dann ein äquivarianter Schätzer, wenn

gilt.

Äquivariante Schätzer im Skalenmodell

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Ist ein Skalenmodell, also ein statistisches Modell mit Skalenfamilie und ist

die Gruppe (auf ) der Multiplikationen mit einer positiven reellen Zahl, so ist die Gruppe (auf ) ebenfalls die Multiplikation mit einer positiven reellen Zahl. Dies folgt analog zum obigen Fall über die definierenden Eigenschaften der Skalenfamilie. Somit ist im Skalenmodel ein Punktschätzer genau dann ein äquivarianter Schätzer, wenn

ist.