Formelsammlung Analysis

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Arithmetische und geometrische Folgen

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Arithmetische Folge
Geometrische Folge
  • Die Folge heißt Nullfolge, wenn es zu jedem eine Nummer gibt, sodass für alle Folgeglieder mit höherer Nummer, also gilt:
  • Eine Folge hat den Grenzwert a, wenn die Folge den Grenzwert 0 hat.
  • Folgen ohne Grenzwert heißen divergent.
  • Eine Folge heißt beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, sodass für alle gilt.

Grenzwertsätze (Folgen)

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Hat die Folge den Grenzwert a, die Folge den Grenzwert b, so gilt:

Funktionen (formale Eigenschaften)

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  • [Definition, Eigenschaften, Grenzwertsätze analog]

Sei

Voraussetzungen:

  • Es gibt eine Stelle , sodass und entweder Null sind oder bestimmt divergieren
  • und sind in einer Umgebung von differenzierbar
  • Der Grenzwert existiert.

Dann gilt:

Einseitige Grenzwerte

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Die Funktion hat für den Limes , wenn es zu jedem (noch so kleinen) ein gibt, sodass für alle -Werte aus dem Definitionsbereich von , die der Bedingung genügen, auch gilt.

In diesem Falle nennt man den Grenzwert konvergent.

Eine Funktion heißt an einer Stelle stetig, wenn der Grenzwert von für gegen existiert und mit dem Funktionswert übereinstimmt

  • Epsilon-Delta-Kriterium: ist stetig in , wenn
    zu jedem ein existiert, so dass für alle mit gilt: .
  • Folgenkriterium: ist stetig in , wenn für jede Folge mit Elementen , die gegen konvergiert, auch gegen konvergiert.
Zwischenwertsatz
Eine im Intervall () stetige Funktion nimmt jeden Funktionswert zwischen und mindestens einmal an.

Spezialfall: Nullstellensatz

Eine in stetige Funktion, bei der und verschiedene Vorzeichen haben, hat dort mindestens eine Nullstelle.
Extremwertsatz
Eine in einem Intervall stetige Funktion hat dort stets einen größten und einen kleinsten Funktionswert.
Mittelwertsatz
Es sei auf dem abgeschlossenen Intervall () stetig und differenzierbar. Dann gibt es mindestens ein , so dass
gilt.

Differenzierbarkeit: Definitionen

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Eine Funktion ist genau dann differenzierbar an einer Stelle ihres Definitionsbereichs, wenn der Grenzwert

existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von an der Stelle .

Geometrisches: Tangenten

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Tangentengleichung zu im Punkt
Normale (Senkrechte)

Ableitungsregeln

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Konstante Funktion
Faktorregel
Summenregel
Produktregel
Quotientenregel
Potenzregel
Kettenregel
Ableitung der Potenzfunktion
.
Leibnizsche Regel
Die Ableitung -ter Ordnung für ein Produkt aus zwei -fach differenzierbaren Funktionen und ergibt sich aus
.
Die hier auftretenden Ausdrücke der Form sind Binomialkoeffizienten.
Formel von Faà di Bruno
Diese Formel ermöglicht die geschlossene Darstellung der -ten Ableitung der Komposition zweier -fach differenzierbarer Funktionen. Sie verallgemeinert die Kettenregel auf höhere Ableitungen.

Ableitungen wichtiger Funktionen

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siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Geometrische Anwendungen: Eigenschaften von Kurven (Kurvendiskussion)

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Betrachtet wird

Untersuchungsaspekt Kriterium
Nullstelle
Extremwert
Minimum
Maximum
Wendepunkt
Sattelpunkt
Verhalten im Unendlichen
Symmetrie
Achsensymmetrie zur Koordinatenachse („gerade“)
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung („ungerade“)
Monotonie
monoton steigend bzw. streng monoton steigend
monoton fallend bzw. streng monoton fallend
Krümmung
Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen)
Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen)
Periodizität

Funktionsterm:

  • Einteilung
    • Ist das Nennerpolynom vom Grad 0 (also n = 0 und b0 ≠ 0) und ist nicht das Nullpolynom, so spricht man von einer ganzrationalen oder einer Polynomfunktion.
    • Ist n > 0 , so handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion.
    • Ist n > 0 und z < n, so handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion.
    • Ist n > 0 und zn, so handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion. Sie kann mittels Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion aufgeteilt werden.
  • Definitionsbereich
  • Asymptotisches Verhalten: Für strebt
    • [falls ] gegen , wobei sgn die Vorzeichenfunktion bezeichnet.
    • [falls ] gegen
    • [falls ] gegen 0 (die x-Achse)
  • Symmetrie
    • Sind und beide gerade oder beide ungerade, so ist gerade (symmetrisch zur y-Achse).
    • Ist gerade und ungerade, so ist ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung); Gleiches gilt, wenn ungerade und gerade ist.
  • Polstellen: heißt Polstelle von , wenn
  • Asymptoten: Mittels Polynomdivision von durch erhält man mit Polynomen und , wobei der Grad von kleiner als der von ist. Das asymptotische Verhalten von ist damit durch die ganzrationale Funktion bestimmt:
    • x-Achse ist Asymptote:
    • waagerechte Asymptote:
    • schräge Asymptote:
    • ganzrationale Näherungsfunktion

Flächenberechnung

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Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f(x) im Intervall von a bis b ist

  • Andernfalls ist das Intervall durch Bestimmung der Nullstellen in solche Teilintervalle zu zerlegen.

Eigenschaften des bestimmten Integrals

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Integralfunktion
Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
Stammfunktion
Jede Funktion heißt Stammfunktion von , wenn für alle x des Definitionsbereichs gilt
Dies bezeichnet der Ausdruck
Integration
Ist F irgendeine Stammfunktion von f, so gilt

Spezielle Stammfunktionen

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Die Stammfunktionen von sind

Alles weitere siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Integrationsmethoden

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Produkt-, Teil- oder partielle Integration

  • unbestimmt
  • bestimmt

Integration durch Substitution

  • unbestimmt
  • bestimmt
  • Spezialfall: lineare Substitution
  • Spezialfall: logarithmische Integration

Volumenbestimmung

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  • Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a,b]
  • Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen der umkehrbaren Funktion f und der y-Achse im Intervall [a,b]
  • Volumen des Körpers, der bei y-Rotation der Fläche, welche durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], der x-Achse und den beiden Geraden und begrenzt wird, entsteht
Oberflächeninhalt
Volumen
Länge der erzeugenden Linie (Profillinie)
Flächeninhalt der erzeugenden Fläche
Radius des Schwerpunktkreises
Erste Regel

Ausgedrückt in Abhängigkeit von der Funktion f(x) der erzeugenden Linie ergibt sich dies als:

  • bei Rotation um die x-Achse
  • bei Rotation um die y-Achse
Zweite Regel

Im Fall der Rotation um die x-Achse einer Fläche zwischen , der x-Achse und den Grenzen und ergibt sich das Volumen ausgedrückt durch mit als Flächenschwerpunkt zu

mit und

  • Ist f auf [a,b] stetig, so heißt der Mittelwert der Funktionswerte von f auf
  • Länge des Bogens der differenzierbaren Funktion f im Intervall [a,b]:

Näherungsweises Berechnen von Integralen: Numerische Integration

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  • Zerlegungssummen
  • Keplersche Fassregel
  • Trapezregel
    • Sehnentrapez
    • Tangententrapez
  • Simpsonregel