δ-Ring (Mengensystem)

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Ein δ-Ring (delta-Ring) ist ein spezielles Mengensystem, das in der Maßtheorie Anwendung findet, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit verallgemeinerten Volumenbegriffen beschäftigt.

Ein δ-Ring ist ein Mengenring, der zusätzlich noch ein δ-System ist, das heißt, es ist ein nichtleeres Mengensystem, das stabil bzw. abgeschlossen ist bezüglich Vereinigung, Differenzbildung und abzählbaren Schnitten.

Schreibt man alle Forderungen an einen δ-Ring einzeln aus, so lauten sie:

  1. Sind im δ-Ring enthalten, so ist auch enthalten. (Stabilität bezüglich Vereinigung)
  2. Sind im δ-Ring enthalten, so ist auch enthalten. (Stabilität bezüglich Differenzbildung)
  3. Sind im δ-Ring enthalten, so ist auch enthalten. (Stabilität bezüglich abzählbaren Schnitten)

Eigenschaften und Beispiele

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  • Jeder σ-Ring ist auch immer ein δ-Ring, denn es gilt
für jede im σ-Ring enthaltene Folge von Mengen .
  • Die Umkehrung gilt aber im Allgemeinen nicht. Betrachtet man zum Beispiel eine beliebige abzählbare Menge und definiert darauf das Mengensystem aller endlichen Mengen
,
so handelt es sich um einen δ-Ring, da abzählbare Schnitte endlicher Mengen wieder endlich sind. Es ist aber kein σ-Ring, denn abzählbare Vereinigungen von endlichen Mengen sind im Allgemeinen nicht endlich.

δ-Ringe finden beispielsweise bei Abwandlungen des Maßerweiterungssatzes von Carathéodory Verwendung, wo man anstelle der Erweiterung auf die von einem Ring erzeugte σ-Algebra nur auf den erzeugten δ-Ring erweitert.