σ-Algebra der invarianten Ereignisse

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Die σ-Algebra der invarianten Ereignisse ist eine spezielle σ-Algebra, die in der Ergodentheorie Verwendung findet. Dort dient sie beispielsweise zur Definition der Ergodizität oder zur Formulierung des individuellen Ergodensatzes und des Lp-Ergodensatzes.

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine messbare Abbildung.

Ein heißt ein invariantes Ereignis, wenn ist.

Die Menge aller invarianten Ereignisse, also

,

heißt dann die σ-Algebra der invarianten Ereignisse.

  • Dass tatsächlich eine σ-Algebra ist, folgt direkt aus der Verträglichkeit der Urbildoperation mit den Mengenoperationen.
  • Eine Funktion von nach ist genau dann -messbar, wenn sie -messbar ist und gilt.

Quasi-invariante Ereignisse

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Eine Abschwächung des Begriffes eines invarianten Ereignisses ist ein quasi-invariantes Ereignis. Dabei wird die Gleichheit nur fast sicher gefordert. Demnach heißt ein quasi-invariant, wenn

gilt. Auch die quasi-invarianten Ereignisse bilden für maßerhaltende Abbildungen eine σ-Algebra, sie ist gegeben durch

.

Tatsächlich unterscheiden sich die quasi-invarianten Ereignisse und die invarianten Ereignisse kaum, denn es lässt sich zeigen, dass für jedes ein gibt, so dass ist. Es lässt sich also zu jeder quasi-invarianten Menge immer eine invariante Menge finden, so dass diese sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden.