Amalgamiertes Produkt

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Das amalgamierte (freie) Produkt von Gruppen nach der Gruppe oder das freie Produkt der Gruppen mit der amalgamierten Untergruppe ist eine mit dem freien Produkt von Gruppen verwandte mathematische Konstruktion. Dabei wird das freie Produkt der Gruppen gebildet, die alle eine zur Gruppe isomorphe Untergruppe enthalten. Über die Gruppenisomorphie zu werden die einzelnen Elemente der verschiedenen Untergruppen miteinander identifiziert und dadurch die Untergruppen »amalgamiert« (so viel wie »verschmolzen«). Die Gruppenverknüpfung wird entsprechend angepasst, sodass das Ergebnis eine Gruppe ist, die dem freien Produkt der bis auf Identifikation über isomorpher Elemente entspricht.

Definition (konstruktiv)

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Voraussetzungen

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Sei eine Indexmenge und eine Familie von Gruppen. Weiter beinhalte jede dieser Gruppen eine Untergruppe die isomorph zu einer weiteren Gruppe sei. Der zugehörige Gruppenisomorphismus, der diese Isomorphie vermittelt, sei mit bezeichnet.

Für ein beliebiges sei dann ein Wort über den eine Hintereinanderschreibung

von Elementen aus den Das Wort sei entweder

  • leer (für ), dann geschrieben oder oder
  • für jedes gebe es ein sodass gelte: D. h. die Gruppen der Familie kommen unter den in beliebiger Reihenfolge und beliebig oft (auch wiederholt) vor.

Im Folgenden schreiben wir sowohl für das leere Wort wie auch für die neutralen Elemente der Gruppen ohne Unterschied

Äquivalenzrelation

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Analog zum Vorgehen bei der Bildung des gewöhnlichen freien Produktes der Gruppen betrachten wir Wörter aus Elementen aus den und definieren sogenannte elementare Äquivalenzen (Ä1–Ä3) zwischen ihnen. Ä1 und Ä2 entstammen der Konstruktion des gewöhnlichen freien Produktes, Ä3 bewirkt die »Amalgamierung«.

Vorbemerkung für Ä3:
Wir sagen, zwei Elemente und mit seien einander zugehörig, falls sie vermittels der Isomorphismen und zwischen und demselben entsprechen; d. h. falls gilt.
(Ä1)
»Neutrale Elemente können weggelassen werden.«
Falls dann sei (elementar) äquivalent zu
(Ä2)
»Zwei Elemente können durch ihr Produkt ersetzt werden.«
Falls und aus derselben Gruppe sind und in gilt, dann sei (elementar) äquivalent zu
(Ä3)
»Elemente können durch zugehörige Elemente ersetzt werden.«
Falls und mit und die Elemente und einander zugehörig sind, dann sei (elementar) äquivalent zu

Auf Grundlage der elementaren Äquivalenzen erklären wir wortweise Äquivalenz.

sei die Menge aller Wörter über den Zwei Wörter und aus seien (wortweise) äquivalent, falls es eine Folge

von Wörtern aus mit und gibt, in welcher je zwei aufeinanderfolgende Glieder elementar äquivalent sind. Wir schreiben dann:

Die wortweise Äquivalenz entspricht der transitiven Hülle bzw. der reflexiv-transitiven Hülle der elementaren Äquivalenz.

Gruppen-Verknüpfung

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Für sei

die Menge aller zu äquivalenten Wörter in heißt Äquivalenzklasse von Mit (sprich: „Ge nach Tilde“) bezeichnen wir die Menge aller möglichen Äquivalenzklassen von Elementen sie heißt Quotientenmenge von nach der Äquivalenzrelation

Auf der Menge ist durch die Hintereinanderschreibung von Wörtern und eine Verknüpfung

gegeben. Wir übertragen diese Verknüpfung in natürlicher Weise auf indem wir definieren:

D. h. das Produkt der Äquivalenzklassen wird definiert als die Äquivalenzklasse des Produktes der beiden Repräsentanten und Dieses Produkt wird auch das kanonische[1] Produkt auf genannt.

Amalgamiertes Produkt

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Die Quotientenmenge bildet zusammen mit dem eben definierten Produkt eine Gruppe sie heißt das amalgamierte Produkt der Gruppen oder das freie Produkt der Gruppen mit der amalgamierten Untergruppe

Man spricht vom nichttrivialen amalgamierten Produkt zweier Gruppen und wenn und (Beleg?)

Das amalgamierte Produkt von zwei Gruppen und mit einer gemeinsamen Untergruppe ist ein Beispiel für ein Pushout.

Das freie Produkt ist eine Anwendung bzw. ein Spezialfall des amalgamierten Produktes, da jedes freie Produkt vermöge der Amalgamierung nach der trivialen Untergruppe [2] seiner Faktoren als amalgamiertes Produkt aufgefasst werden kann.

Wiktionary: amalgamieren – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
  • Hall, Marshall: The theory of groups. Macmillan, New York, 1959.

Einzelnachweise und Fußnoten

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  1. »kanonisch« bedeutet soviel wie, dass das Produkt im Kanon der Mathematik, d. h. z. B. in der Leit-Literatur der Mathematik gewöhnlich so definiert wird und in diesem Sinne als musterhafte, verbindliche und / oder verlässliche Konvention gelten kann. Der Begriff entstammt dem Kirchenrecht und seiner Bezeichnung als kanonisches Recht.
  2. Die Untergruppen sind trivialerweise alle isomorph zu jeder beliebigen Gruppe der Gruppenordnung 1. Man wähle eine beliebige Gruppe als Amalgamierungsgruppe.