In diesem Artikel wird eine allgemein gehaltene Näherungsmethode für verschiedene Modelle der Festkörperphysik vorgestellt.
Die Methode benutzt das Kronecker-Produkt von Pauli-Matrizen.
Sind
die vier Pauli-Matrizen, so kann man mit Hilfe des Kronecker-Produkt höherdimensionale Matrizen erzeugen.
![{\displaystyle p:=\sigma _{\mu _{1}}\otimes \sigma _{\mu _{2}}\otimes ...\otimes \sigma _{\mu _{n}}\quad ;\quad \mu _{1},\mu _{2},...,\mu _{n}\epsilon \{0,1,2,3\}\quad ;\quad n\epsilon \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b1eb00a1ec1bca6d1d30cab83c95ea44619e1c)
Eigenschaften der Pauli-Matrizen vererben sich auf diese Matrizen.
Sind
und
zwei Kronecker Produkte von Pauli-Matrizen, so gilt:
sind
Matrizen
(Die
Einheitsmatrix)
oder
(Lemma)
![{\displaystyle \operatorname {Spur} \sigma _{\mu _{1}}\otimes \sigma _{\mu _{2}}\otimes ...\otimes \sigma _{\mu _{n}}=2^{n}\delta _{\mu _{1},0}\delta _{\mu _{2},0}...\delta _{\mu _{n},0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d9b633c9608d1ed4ebf1781126af3da89ec2a1)
- Die Kronecker Produkte von Pauli-Matrizen sind linear unabhängg und bilden eine Basis im Vektorraum der
Matrizen
Sie spielen in der Physik eine Rolle. Hamilton Operatoren
vieler physikalischer Modelle lassen sich als Summe solcher Matrizen ausdrücken.
Insbesondere lassen sich Erzeuger und Vernichter von Fermionen, die endlich viele Zustände einnehmen können, einfach durch sie ausdrücken.
mit
ist Kronecker Produkt von Pauli-Matrizen
Beispiele für derartige Modelle sind Hubbard-Modell, Heisenberg-Modell (Quantenmechanik) und Anderson model.
Häufig interessiert man sich für die Exponential Funktion des Hamilton Operator.
![{\displaystyle exp\{-\beta H\}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(-\beta )^{l}}{l!}})(\sum _{k=0}^{N}h_{k}p_{k})^{l}\quad mit\quad \beta \epsilon \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61cc6f7888eefaea212d909cfc32ddbfafe4ac47)
Aufgrund des Lemma kann man in einem Produkt die Matrizen beliebig anordnen.
Ist
eine Permutation, so ist:
![{\displaystyle p_{\pi _{1}}p_{\pi _{2}}...p_{\pi _{n}}=ap_{1}p_{2}...p_{n}\quad mit\quad n\epsilon \mathbb {N} ,a\epsilon \{1,-1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1704071ac63281803bb1f19b0aaa10d780d0b25f)
Deshalb existieren rationale Zahlen
mit:
![{\displaystyle exp\{-\beta H\}=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{\infty }...\sum _{k_{N}=0}^{\infty }E_{k_{1}k_{2}...k_{N}}(-\beta h_{1})^{k_{1}}(-\beta h_{2})^{k_{2}}...(-\beta h_{N})^{k_{N}}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}...p_{N}^{k_{N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/574c9d4541534be85d8ac0a88dbf01b1b3647c2d)
Diese rationalen Zahlen sind, von Ausnahmen abgesehen, schwer zu berechnen.
Eine erste Näherung ergibt sich, indem man nur Summanden berücksichtigt, die aus kommutierenden Matrizen bestehen.
falls ein Paar
mit
und
existiert
sonst
Die Näherung läßt sich weiter verbessern, indem man Paare, Tripel, ... von nicht kommutierenden Matrizen berücksichtigt.
- Willi-Hans Steeb: Kronecker Product of Matrices and Applications. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim 1991, ISBN 3-411-14811-X.