Die Gruppe operiert auf der oberen Halbebene durch wobei Für festes ist die Abbildung ein Diffeomorphismus. Damit operiert auch auf durch .
Der hyperbolische Laplace Operator auf wird definiert durch
,
Eine Maaßsche Wellenform zur Gruppe ist eine glatte Funktion auf so dass
für ein
es existiert ein mit für
Gilt außerdem
dann nennen wir Maaß-Spitzenform.
Sei nun eine Maaßsche Wellenform. Dann gilt wegen . Damit hat eine Fourier-Entwicklung der Gestalt
, wobei die Koeffizientenfunktionen glatt sind.
Wir beobachten außerdem : ist eine Maaß-Spitzenform genau dann wenn , denn
wobei in (1) benutzt wurde, dass die Reihe für festes lokal gleichmäßig konvergiert.
Sei der Eigenwert der Maaßschen Wellenform f bezüglich . Sei die bis aufs Vorzeichen eindeutige komplexe Zahl mit . Sei die K-Besselfunktion. Dann gilt für die Fourierkoeffizientenfunktionen von
falls . Ist so gilt
mit .
Beweis : Es gilt . Nach der Definition von Fourierkoeffizienten gilt für
Zusammen folgt für
In (1) wurde für den ersten Summanden benutzt, dass der n-te Fourierkoeffizient von genau ist, da wir Fourierreihen gliedweise differenzieren dürfen. Im zweiten Summanden wurde die Reihenfolge von Integration und Differentiation geändert, was erlaubt ist, da f beliebig oft stetig differenzierbar nach y ist und man über ein Kompaktum integriert. Es ergibt sich folgende lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
Für kann man zeigen, dass für jede Lösung dieser Differentialgleichung eindeutige Koeffizienten
existieren so dass gilt .
Für ist jede Lösung der obigen Differentialgleichung von der Form für eindeutige , wobei die K-Besselfunktion und die I-Besselfunktionen ist (Siehe dazu zum Beispiel O.Forster : Analysis 2).
Da die I-Besselfunktion exponentiell wächst und die K-Besselfunktion exponentiell fällt, folgt mit der Forderung 3) des höchstens polynomialen Wachstums von (also ) für ein eindeutiges
Sei eine Maaß-Spitzenform. Wir definieren die sogenannte L-Funktion von als
.
Dann konvergiert die Reihe für und man kann sie zu einer ganzen Funktion auf fortsetzen.
Ist f gerade oder ungerade so definiert man
wobei falls gerade und falls ungerade ist. Dann erfüllt die Funktionalgleichung
.
Beweis:
Sei f eine Maaß-Spitzenform.
Zuerst machen wir uns klar wie schnell die Fourierkoeffizienten von f wachsen.
Behauptung: Es gilt
Beweis: Da f eine Maas-Spitzenform ist, existieren so dass für die Ungleichung gilt. Ist , und ist konjugiert zu modulo so rechnet man leicht nach, dass gilt. Da f invariant unter ist, gilt für
: . Also gilt für die Abschätzung
.
Für und gilt damit
.
Damit finden wir eine Konstante so dass für jedes gilt
.
Nun fällt die K-Besselfunktion aber exponentiell schnell und f ist eine Maas-Spitzenform. Zusammen folgt, dass f auf beschränkt ist und damit auf . Damit können wir den obigen Beweis mit wiederholen und erhalten für ein also .
Um den Satz zu beweisen brauchen wir noch die Mellin-Transformierte von .
Behauptung: Für konvergiert das Integral
absolut und es gilt
.
Beweis: Nach Definition gilt
Wir wenden nun die Transformationsformel auf den Diffeomorphismus
an. Wir erhalten und . Das Jacobi-Matrix ergibt sich als
mit Determinante . Benutzt man nun die Transformationsformel vereinfacht sich obiges Integral zu
und dieses konvergiert absolut für .
Nun zum Beweis des Satzes. Ist f gerade oder ungerade folgt aus der Eindeutigkeit der Fourierkoeffizienten für alle . Sei f zuerst gerade. Dann gilt
Das vertauschen der Reihenfolge von Integral und Summe zeigt man zum Beispiel mit majorisierter Konvergenz, wobei man ausnutzt, dass für die K-Besselfunktion für gilt : .
Ebenso zeigt man dass für exponentiell fällt.
Wir definieren nun
,
.
Damit gilt . Da exponentiell fällt für , konvergiert für jedes und damit ist eine ganze Funktion (Komplexe Analysis). Nun ist aber invariant unter womit insbesondere folgt.
Wir erhalten nun
.
Damit ist auch eine ganze Funktion und damit ist ganz. Insbesondere kann man damit zu einer ganzen Funktion auf fortsetzen.
Weiterhin gilt für die Funktionalgleichung
.
Wenn f ungerade ist, definiert man
.
Dann rechnet man analog zu oben
indem man wieder benutzt, dass die K-Besselfunktion exponential fällt. Wir definieren wieder
,
.
Auch fällt exponentiell für . Damit ist auch wieder eine ganze Funktion. Man rechnet leicht nach, dass gilt . Damit folgt mit einer analogen Rechnung . Damit ist auch im ungeraden Fall ganz und der Satz ist bewiesen..
Die nichtholomorphe Eisenstein-Reihe wird für und definiert durch
wobei die Gammafunktion ist.
Dann ist E(z,s) eine Maaßsche Wellenform. Einen Beweis dazu findet man zum Beispiel im Buch Automorphe Formen von Anton Deitmar.
1) Anton Deitmar, Automorphe Formen S.52-74