Dirac–Kähler-Gleichung

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Die Dirac–Kähler-Gleichung (auch Ivanenko–Landau–Kähler-Gleichung) ist eine geometrische Formulierung der Dirac-Gleichung auf pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten mithilfe des Laplace–de Rham-Operators. Die Gleichung wurde von Dmitri Ivanenko und Lew Landau im Jahr 1928 entdeckt,[1] Erich Kähler entdeckte sie erneut im Jahr 1962.[2]

Sei eine -dimensionale glatte Mannigfaltigkeit. Das Differential erhöht den Grad einer Differentialform und das adjungierte Differential verringert den Grad einer Differentialform. Der Laplace–de-Rham-Operator:

erhält daher den Grad einer Differentialform. Mit den Komplexitätsbedingungen ergeben sich die Zusammenhänge , wodurch Dirac-Operatoren ähnlich wie bei der Konstruktion der Dirac-Gleichung existieren, sodass deren Quadrat der Laplace–de-Rham-Operator ist. Diese können jedoch nicht mehr auf den Vektorräumen von Differentialformen eines einzigen Grades definiert werden kann, daher ist der Übergang auf die direkte Summe:

notwendig. Einer dieser Dirac-Operatoren ist der Dirac–Kähler-Operator:

Für ein Skalar und eine Differentialform ist die Dirac–Kähler-Gleichung gegeben durch:[3]

Diese besteht aus miteinander gekoppelten Differentialgleichungen für Differentialformen. Für mit sind diese gegeben durch:

für . Für die Randfälle und ergeben sich dabei jeweils und , was sowieso aus Gradgründen gelten muss, da es keine - und -Formen auf gibt. Dadurch gibt es tatsächlich nur miteinander gekoppelte Differentialgleichungen für Differentialformen. Für und ergibt sich:

Durch Anwendung von auf die Dirac–Kähler-Gleichung wird diese zur Klein–Gordon-Gleichung , bei welcher die einzelnen Differentialgleichungen entkoppeln und daher jede einzelne Differentialform mit die Klein–Gordon-Gleichung erfüllt. Würde für die Dirac–Kähler-Gleichung stattdessen der Operator verwendet werden, würden diese stattdessen erfüllen.

Einzelnachweise

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  1. D. Iwanenko, L. Landau: Zur Theorie des magnetischen Elektrons. I (English translation: On the theory of the magnetic electron). In: Zeitschrift für Physik. 48. Jahrgang, Nr. 5, 1928, S. 340–348, doi:10.1007/BF01339119 (englisch).
  2. E. Kähler: Der innere Differentialkalkül. In: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 25. Jahrgang, Nr. 3, 1962, S. 192–205, doi:10.1007/BF02992927.
  3. S.I.Kruglov: Dirac-Kähler Equation. 27. Oktober 2001, abgerufen am 8. März 2024 (englisch).