Duale C*-Algebra

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Die dualen C*-Algebren, auch C*-Algebren kompakter Operatoren genannt, sind eine spezielle Unterklasse von in der Mathematik betrachteten C*-Algebren. Sie zeichnen sich durch eine besonders einfache Struktur aus.

Ist eine Teilmenge einer Algebra , so heißt der Links-Annullator von . Entsprechend heißt der Rechts-Annullator von . Ganz allgemein nennt man eine Banachalgebra dual, wenn folgende Dualitätsbeziehungen bestehen:

  • für alle abgeschlossenen Linksideale ,
  • für alle abgeschlossenen Rechtsideale .

Bei C*-Algebren folgt jede der Bedingungen aus der jeweils anderen, da sich Links- und Rechtideale via Involution eineindeutig entsprechen.

Charakterisierungen

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Eine C*-Algebra heißt elementar, wenn es einen Hilbertraum gibt, so dass sie isomorph zur Algebra der kompakten Operatoren auf ist. Das eingeschränkte Produkt einer Familie von C*-Algebren ist die Unteralgebra des kartesischen Produktes der , die aus allen Tupeln besteht, für die für jedes endlich ist. Zusammen mit der Norm ist dies wieder einer C*-Algebra. Mit diesen Begriffsbildungen gilt nun:

Für eine C*-Algebra sind folgende Aussagen äquivalent:

  • ist eine duale C*-Algebra.
  • Die Summe der minimalen Linksideale liegt dicht in .
  • Die Summe der minimalen Rechtsideale liegt dicht in .
  • ist isomorph zu einer Unter-C*-Algebra einer elementaren C*-Algebra.
  • ist isomorph zu einem eingeschränkten Produkt einer Familie elementarer C*-Algebren.
  • Das Gelfand-Spektrum jeder maximalen kommutativen Unter-C*-Algebra ist diskret.
  • Für jedes ist der Operator der Linksmultiplikation ein schwach-kompakter Operator.
  • Für jedes ist der Operator der Rechtsmultiplikation ein schwach-kompakter Operator.

Dabei heißt ein Operator schwach-kompakt, wenn das Bild einer beschränkten Menge in der schwachen Topologie einen kompakten Abschluss hat.

Wegen dieser Charakterisierung nennt man duale C*-Algebren auch C*-Algebren kompakter Operatoren.

  • Die Matrizen-Algebren sind elementar und daher dual, allgemeiner sind alle endlich-dimensionalen C*-Algebren dual.
  • Die Folgenalgebra der komplexen Nullfolgen ist eingeschränktes Produkt von abzählbar vielen Kopien von und daher dual.
  • Ist ein Hilbertraum und ist eine Unter-C*-Algebra von , so ist dual. Nach obiger Charakterisierung erhält man so bis auf Isomorphie alle dualen C*-Algebren.
  • Die Funktionenalgebra ist nicht dual, denn sie ist kommutativ und hat kein diskretes Gelfand-Spektrum. Aus demselben Grunde sind die Folgenalgebren und der konvergenten bzw. beschränkten Folgen nicht dual.
  • Aus obigen Charakterisierungen ergibt sich leicht, dass Unter-C*-Algebren von dualen C*-Algebren und eingeschränkte Produkte dualer C*-Algebren wieder dual sind.
  • Die Darstellungstheorie dualer C*-Algebren ist sehr einfach. Liegt die C*-Algebra als eingeschränktes Produkt elementarer C*-Algebren vor, so sind die irreduziblen Darstellungen bis auf Äquivalenz genau die Projektionen auf die Komponenten .