Einfach-gleichmäßige Konvergenz

Die einfach-gleichmäßige Konvergenz ist ein Konvergenzbegriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Es handelt sich um eine Abschwächung der gleichmäßigen Konvergenz. Definiert wurde der Begriff unter anderem von Ulisse Dini.

Definition

Sei $D_{f}\subset \mathbb {R}$ eine Teilmenge. Eine punktweise konvergente Funktionenfolge $(f_{n}\colon D_{f}\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} }$ heißt gegen $f$ einfach-gleichmäßig konvergent, wenn

$\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall x\in D_{f}:\operatorname {Card} (\{n\mid n\geq N,\ \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon \})=\aleph _{0}$

gilt. Mit $\aleph _{0}$ ist die Mächtigkeit von $\mathbb {N}$ gemeint.

Eigenschaften

Jede gleichmäßig konvergente Funktionenfolge ist auch einfach-gleichmäßig konvergent.