Fortsetzungssatz von Dugundji

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Der Fortsetzungssatz von Dugundji (engl. Dugundji extension theorem oder Dugundji extension formula) ist ein mathematischer Lehrsatz, der angesiedelt ist im Übergangsfeld zwischen Allgemeiner Topologie und der Theorie der topologischen Vektorräume. Er geht auf eine wissenschaftliche Publikation des US-amerikanischen Mathematikers James Dugundji aus dem Jahre 1951 zurück[1][2][3] und ist direkt verknüpft mit dem Satz von Tietze-Urysohn über die Fortsetzung stetiger Abbildungen normaler Räume, von dem er in gewissem Sinne eine Verallgemeinerung[4] darstellt.

Formulierung des Satzes

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Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:[5][6][7]

Gegeben seien ein metrischer Raum und darin eine abgeschlossene Teilmenge sowie ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum .
Dann existiert zu jeder stetigen Abbildung eine stetige Fortsetzung auf , also eine stetige Abbildung mit , welche so beschaffen ist, dass der Bildbereich von der konvexen Hülle von umfasst wird.

In etwas abgewandelter, aber gleichwertiger Form lässt sich der Fortsetzungssatz von Dugundji auch so darstellen:[8]

Gegeben seien ein metrischer Raum und darin eine abgeschlossene Teilmenge sowie ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum und darin eine konvexe Teilmenge . Weiterhin sei eine stetige Abbildung.
Dann besitzt eine stetige Fortsetzung .

Einordnung des Satzes

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Der Tietze-Urysohnsche Fortsetzungssatz garantiert für normale topologische Räume allein die Existenz einer stetigen Fortsetzung in dem Fall, dass der Wertebereich der zugrundeliegenden stetigen Abbildung ein aus Intervallen von zusammengesetzter Produktraum, etwa ein , ist.[9] Der Fortsetzungssatz von Dugundji liefert nun eine erhebliche Ausweitung dieser Aussage, die jedoch erst dadurch möglich wird, dass statt eines normalen topologischen Raums ein metrischer Raum zugrunde gelegt wird: Die Verallgemeinerung des Wertebereichs im Satz von Dugundji ist durch eine Spezialisierung des Definitionsbereichs erkauft.[10]

Originalarbeiten

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Einzelnachweise

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  1. Dugundji: An extension of Tietze’s theorem. 1951, S. 353–367, hier S. 353 ff.
  2. Bessaga, Pełczyński: Selected Topics in Infinite-dimensional Topology. 1975, S. 57 ff.
  3. Granas, Dugundji: Fixed Point Theory. 2003, S. 163–164.
  4. Mayer: Algebraische Topologie. 1989, S. 56.
  5. Dugundji: An extension of Tietze’s theorem. 1951, S. 353–367, hier S. 357.
  6. Borsuk: Theory of Retracts. 1967, S. 77–78.
  7. Mayer: Algebraische Topologie. 1989, S. 54, 56
  8. Dugundji: Topology. 1973, S. 189.
  9. Schubert: Topologie. 1975, S. 83.
  10. Mayer: Algebraische Topologie. 1989, S. 56.