Die Fredholm-Determinante ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis, der den Begriff der Determinante eines endlichdimensionalen linearen Operators verallgemeinert. Die Fredholm-Determinante hat Anwendungen in der Theorie der Zufallsmatrizen und der mathematischen Physik.
Die Funktion ist nach Erik Ivar Fredholm benannt, der sie beim Studium von Integralgleichungen einführte.
Sei
die Familie aller Spurklasseoperatoren über einem
-wertigen Hilbertraum. Sei
und
der Identitätsoperator, dann ist die Fredholm-Determinante
definiert als
.
Zur Erläuterung der rechten Seite sei
eine Orthonormalbasis des zugrunde liegenden Hilbertraums
mit einer wohlgeordneten Menge
. Das
-fache äußere Produkt
ist der Hilbertraum mit Orthonormalbasis
. Dann ist der durch
definierte Operator
ebenfalls ein Spurklasseoperator und man kann die Spur
bilden. Damit ist die rechte Seite obiger Definition erklärt.
Diese Definition stammt von Alexander Grothendieck. Es gibt mehrere gleichwertige Definitionen der Fredholm-Determinante, jede mit Vor- und Nachteilen. Für weitere Berechnungen eignet sich aber vor allem die Definition über die Graßmann-Algebra.[1]
Wenn
ein Integraloperator mit stetigem Integralkern
ist, dann lässt sich der Ausdruck umschreiben zu[2]
,
wo bei
die Darstellung von
bezüglich einer Schur-Basis bezeichnet.
Seien
und
ein Integralkern auf dem Produktraum. Fredholm studierte die Integralgleichung[3]
.
Er ersetzte das Integral in der Gleichung durch eine riemannsche Summe und diskretisierte
als
. Somit entstand ein System von
linearen Gleichungen der Form
.
Das kann man nun als Matrix-Vektor-Produkt
verstehen, wobei
. Sei nun
die Determinante dieser Matrix in Relation zur Diskretisierungslänge, dann gilt durch Taylorentwicklung
![{\displaystyle D(1/n)=\sum \limits _{m=0}^{n}a_{m}h^{m}:=\sum \limits _{m=0}^{n}{\frac {1}{m!}}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} h}}\right)^{m}D(h)|_{h=0}h^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8eb572a885ef131109e40f98329982299ab816f)
und somit
![{\displaystyle D(1/n)=1+{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i}K_{ij}+{\frac {1}{n^{2}}}\sum \limits _{i,j}\operatorname {det} {\begin{pmatrix}K_{ii}&K_{ij}\\K_{ji}&K_{jj}\end{pmatrix}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82a3c05e151d139c6a43f3264c364d9cf8a6d27d)
oder kompakt
![{\displaystyle \operatorname {det} \left(I+n^{-1}K\right)=D(1/n)=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}\right)^{k}{\frac {1}{k!}}\int \cdots \int \operatorname {det} [K(x_{i},x_{j})]_{1=i,j}^{k}\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f28e6c9b3151aad701a3e822023c984104b7340)
und somit
.
- ↑ Issa Karambal, Veerle Ledoux, Simon J.A., Malham·Jitse Niesen: Introductory Fredholm theory and computation. Abgerufen am 16. April 2021.
- ↑ Issa Karambal, Veerle Ledoux, Simon J.A., Malham·Jitse Niesen: Introductory Fredholm theory and computation. Abgerufen am 16. April 2021.
- ↑ Rui Dong: Fredholm Determinant. Abgerufen am 16. April 2021.