Die Jacobi-Polynome (nach Carl Gustav Jacob Jacobi), auch hypergeometrische Polynome, sind eine Menge polynomieller Lösungen des Sturm-Liouville-Problems, die einen Satz orthogonaler Polynome bilden, und zwar auf dem Intervall
bezüglich der Gewichtsfunktion
mit
. Sie haben die explizite Form[1]
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b8c2fdadcca631cf6b4a04b34de6ae898e8d96)
oder mit Hilfe der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion
:
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={n+\alpha \choose n}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+n+\alpha +\beta ;\alpha +1;{\frac {1-x}{2}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e4d8384d029db69d3a94d94e700fb1beb0f2657)
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-x)^{-\alpha }(1+x)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x)^{\alpha +n}(1+x)^{\beta +n}\right],~~~\alpha ,\beta >-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b752ea0562f33672ccb347e252ba037e4bfb4c15)
Man kann die Jacobi-Polynome auch mit Hilfe einer Rekursionsformel bestimmen.
![{\displaystyle P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1401a1e7a45e4d9d0043cde884d3381e3e9fe9c4)
![{\displaystyle P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {1}{2}}{\bigl (}\alpha -\beta +(\alpha +\beta +2)x{\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2546cfbbdf32178941cbfa83b2c51ec541d4019)
![{\displaystyle a_{n}^{1}P_{n+1}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(a_{n}^{2}+a_{n}^{3}x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)-a_{n}^{4}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24de7b556a8463661df5cf706cb319af99fad711)
mit den Konstanten:
![{\displaystyle a_{n}^{1}=2(n+1)(n+\alpha +\beta +1)(2n+\alpha +\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16cf83e914261b0464ded7bf4e6388eab5f0ad7a)
![{\displaystyle a_{n}^{2}=(2n+\alpha +\beta +1)(\alpha ^{2}-\beta ^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9db36772fdf5899d0cf46519cf40f95025e3db9d)
![{\displaystyle a_{n}^{3}=(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta +1)(2n+\alpha +\beta +2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded4db84bc176211f44152a182435bcc465a8633)
![{\displaystyle a_{n}^{4}=2(n+\alpha )(n+\beta )(2n+\alpha +\beta +2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6947933783470abe086840c28a2a781391e730)
Der Wert für
ist
.
Es gilt die folgende Symmetriebeziehung
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-x)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(x)\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/783d9ef8eb14dfff742c53423f28a5c8ef2c62ea)
woraus sich der Wert für
ergibt:
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74d400c2b4a877084a6640c2d549661e3916a0a)
Sie erfüllen die Orthogonalitätsbedingung
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6327f0f6d0319149c3d25c6941cd6708bcfaed97)
Aus der expliziten Form können die
-ten Ableitungen abgelesen werden. Sie ergeben sich als:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\;\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee1fba852187dbfe3163afba7a46b8d241dd335a)
Die Eigenwerte der symmetrischen Tridiagonalmatrix
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{0}&b_{1}&0&\dots &0\\b_{1}&a_{1}&b_{2}&\ddots &\vdots \\0&b_{2}&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &b_{n-1}\\0&\dots &0&b_{n-1}&a_{n-1}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b7d189349d2fe94808599531267a56d32a33a88)
mit
![{\displaystyle a_{0}={\frac {\beta -\alpha }{2+\alpha +\beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4633a35518dbbb59cb64cb2ec35b5cbc663fae6)
![{\displaystyle a_{j}={\frac {(\beta -\alpha )(\alpha +\beta )}{(2j+\alpha +\beta )(2j+2+\alpha +\beta )}},~~~j=1,\dots ,n-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffce783bafbe06615976749e3a099028b88d37c4)
![{\displaystyle b_{j}={\sqrt {\frac {4j(j+\alpha )(j+\beta )(j+\alpha +\beta )}{(2j-1+\alpha +\beta )(2j+\alpha +\beta )^{2}(2j+1+\alpha +\beta )}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f8fe4107f187f1b5b2a762168f44c20b540d95)
stimmen mit den Nullstellen von
überein. Somit bietet der QR-Algorithmus die Möglichkeit, die Nullstellen näherungsweise zu berechnen. Weiterhin kann man beweisen, dass sie einfach sind und im Intervall
liegen.
Mit Hilfe der Landau-Symbole lässt sich folgende Formel aufstellen:
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )={\frac {\cos \left(\left[n+(\alpha +\beta +1)/2\right]\theta -\left[2\alpha +1\right]\pi /4\right)}{{\sqrt {\pi n}}\left[\sin(\theta /2)\right]^{\alpha +1/2}\left[\cos(\theta /2)\right]^{\beta +1/2}}}+{\mathcal {O}}\left(n^{-3/2}\right),~~~0<\theta <\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfbdc9975955211fd6a45f99cf645ae262f42a68)
Für alle
gilt
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)z^{n}=2^{\alpha +\beta }[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha }[1+z+f(x,z)]^{-\beta },~~~f(x,z)={\sqrt {1-2xz+z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2809da20b32575f701d8c89858b4ce98db662ce4)
Die Funktion
![{\displaystyle z\mapsto 2^{\alpha +\beta }[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha }[1+z+f(x,z)]^{-\beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f34e882ac90bd394330ed5ed33f2a8ce5eae12)
wird daher als erzeugende Funktion der Jacobi-Polynome bezeichnet.
Einige wichtige Polynome können als Spezialfälle der Jacobi-Polynome betrachtet werden:
- Eric W. Weisstein: Jacobi Polynomial. In: MathWorld (englisch).
- Sherwin Karniadakis: Spectral/hp Element Methods for CFD. 1. Auflage. Oxford University Press, New York 1999, ISBN 0-19-510226-6.
- I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik: Table of Integrals, Series, and Products. 5. Auflage. Academic Press Inc., Boston, San Diego, New York, London, Sydney, Tokyo, Toronto 1994, ISBN 0-12-294755-X.
- Peter Junghanns: EAGLE-GUIDE Orthogonale Polynome. 1. Auflage. Books on Demand, Leipzig 2009, ISBN 3-937219-28-5.
- ↑ Abramowitz, Stegun (1965): Formel 22.3.2 - enthält darüber hinaus umfangreiche Zusatzinformationen und Belege für die weiteren hier genannten Formeln