Klassifizierender Raum von O(n)

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Der klassifizierende Raum der -ten orthogonalen Lie-Gruppe klassifiziert -Prinzipalbündel (auch -Hauptfaserbündel genannt). Das bedeutet, dass ein -Prinzipalbündel über einem parakompakten topologischen Raum eineindeutig einer Homotopieklasse einer stetigen Abbildung von diesem nach entspricht. ist selbst der Basisraum (eng. base space) eines -Prinzipalbündels, woraus sich die Notation ergibt.

Es gibt eine kanonische Inklusion von reellen Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch . Deren direkter Limes ist:[1]

Da reelle orientierte Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:

überträgt sich die Gruppenstruktur auf .

Grundlegender Zusammenhang

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Zur Erklärung des obigen Zusammenhangs ist ein weiterer Raum notwendig: Der totale Raum der -ten orthogonalen Lie-Gruppe ist schwach zusammenziehbar[2] und verfügt über eine Gruppenwirkung von , wobei der Orbitraum genau ist. Durch Projektion auf Äquivalenzklassen gibt es daher das spezielle -Prinzipalbündel mit Faser , welches universelles -Hauptfaserbündel genannt wird. Jedes -Hauptfaserbündel auf einem parakompakten topologischen Raum lässt sich nun durch Rückzug von diesem entlang einer stetigen Abbildung erhalten, wobei homotope Abbildungen das gleiche -Prinzipalbündel erzeugen. Dadurch existiert eine Bijektion:[3][4][5]

Kleinster klassifizierender Raum

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Es ist , wobei der unendliche reelle projektive Raum ist und die -Sphäre ist. Beide entstehen jeweils als direkter/induktiver Limes der kanonischen Inklusionen beziehungsweise . Erstaunlicherweise ist die -Sphäre wie oben erwähnt tatsächlich schwach zusammenziehbar und sogar zusammenziehbar,[6] obwohl keine der Sphären (schwach) zusammenziehbar ist.

Für den Kohomologiering von gilt:[7][8][9]

Unendlicher klassifizierender Raum

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Die kanonische Inklusionen induzieren kanonische Inklusionen auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:

bezeichnet. ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von .

Einzelnachweise

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  1. Mitchell 01, Seite 14
  2. Krl. 2.13. Abgerufen am 13. Juni 2023 (englisch).
  3. Allen Hatcher: Vector Bundles and K-theory. S. 29, Thrm. 1.16 (cornell.edu [PDF]).
  4. Prop. 2.16. Abgerufen am 13. Juni 2023 (englisch).
  5. stable unitary group. Abgerufen am 19. Februar 2024 (englisch).
  6. Hatcher 02, Aufgabe 16 auf Seite 19 (ohne Beweis)
  7. Milnor & Stasheff, Theorem 7.1 auf Seite 83
  8. Hatcher 02, Theorem 4D.4.
  9. Stiefel-Whitney class. Abgerufen am 18. Februar 2024 (englisch).