Konzentrationstopologie

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In der Mathematik ist die Konzentrationstopologie eine Topologie auf der Menge aller metrischen Maßräume.

Für einen metrischen Maßraum bezeichne die Menge aller Lipschitz-stetigen Funktionen mit Lipschitz-Konstante auf . Sei das Lebesgue-Maß auf , als Parameter für bezeichnet man eine Borel-messbare Abbildung falls für das Bildmaß gilt. Für einen Parameter definiert man den Raum der -Lipschitz-Verknüpfungen

.

Sei der Hausdorf-Abstand bezüglich der Ky-Fan-Metrik definiert durch

.

Der beobachtbare Abstand zwischen metrischen Maßräumen und wird definiert durch

,

wobei und alle Parameter von bzw. durchlaufen.

Die Konzentrationstopologie ist die durch den beobachtbaren Abstand definierte Topologie auf der Menge aller metrischen Maßräume.

Konzentration metrischer Maßräume

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Man sagt, dass sich eine Folge von metrischen Maßräumen auf einen metrischen Maßraum konzentriert, wenn in der Konzentrationstopologie gegen konvergiert.

Eine Folge metrischer Maßräume konzentriert sich genau dann auf einen einpunktigen Raum, wenn sie eine Lévy-Familie ist.[1]

  • M. Gromov: Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Transl. from the French by Sean Michael Bates. With appendices by M. Katz, P. Pansu, and S. Semmes. Edited by J. LaFontaine and P. Pansu. Modern Birkhäuser Classics. Basel: Birkhäuser (2007) ISBN 978-0-8176-4582-3/pbk

Einzelnachweise

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  1. Proposition 3.6 in: T. Shioya: Metric measure geometry: an approach to high-dimensional and infinite-dimensional spaces. Sugaku Expo. 35, No. 2, 221–241 (2022); translation from Sūgaku 71, No. 2, 159–177 (2019).