Mengenverband

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In der Mathematik ist ein Mengenverband ein Grundbegriff der Maßtheorie und der Verbandstheorie. Er bezeichnet ein nicht leeres Mengensystem, das vereinigungs- und durchschnittsstabil ist.

Felix Hausdorff nannte aufgrund „einer ungefähren Analogie“ zur algebraischen Struktur eines Ringes in der algebraischen Zahlentheorie einen Mengenverband „Ring“.[1] Unter einem Ring versteht man heute in der Maßtheorie jedoch einen speziellen Mengenverband, weil dieser in einem engen Zusammenhang zu einem Ring im Sinne der Algebra steht – im Unterschied zu einem allgemeinen Mengenverband.

Sei eine beliebige Menge. Ein System von Teilmengen von heißt ein Mengenverband oder Verband über , wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

  1. ( ist nicht leer).
  2. (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Vereinigung).
  3. (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Durchschnitt).
  • Über jeder beliebigen Menge ist mit ein kleinster und mit der Potenzmenge der größte mögliche Mengenverband gegeben.
  • Jede σ-Algebra ist ein Mengenverband (aber nicht jeder Mengenverband ist eine σ-Algebra).
  • Aus der Vereinigungs- sowie Durchschnittsstabilität folgt jeweils induktiv, dass auch jede nicht leere, endliche Vereinigung und jeder nicht leere, endliche Durchschnitt von Elementen des Mengenverbandes in ihm enthalten ist, d. h. für alle gilt:
und

Äquivalente Definitionen

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Wenn ein System von Teilmengen von ist, dann sind folgende Aussagen äquivalent:

Verwandte Strukturen

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Anmerkungen und Einzelnachweise

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  1. Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Veit & Comp., Leipzig 1914, S. 14. Hausdorff bezeichnete dabei die Vereinigung als „Summe“.
  2. Der hier verwendete Begriff des Halbringes unterscheidet sich grundlegend von dem eines (Mengen-)Halbringes im Sinne der Maßtheorie, also eines speziellen Mengensystems, beide stehen nicht im Zusammenhang!