Pillaische Primzahl

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In der Zahlentheorie ist eine Pillaische Primzahl eine Primzahl , für welche eine positive ganze Zahl existiert, sodass die Fakultät von , also , um Eins kleiner ist als ein Vielfaches der Primzahl . Die Primzahl selbst darf aber nicht um Eins größer sein als ein Vielfaches von . Mit anderen Worten:

Es existiert ein mit und es muss sein für alle .

Mit Kongruenzen geschrieben bedeutet das:

Es muss   und   gelten.

Die dazugehörigen Zahlen nennt man EHS-Zahlen.[1]

Die Pillai-Primzahlen wurden nach dem Mathematiker Subbayya Sivasankaranarayana Pillai benannt, der sich als erstes mit diesen Zahlen beschäftigte, indem er sich fragte, ob es wahr ist, dass jeder Primteiler von von der Form ist.[1]

  • Die Zahl ist eine Pillai-Pimzahl, weil gilt:
Mit und gilt: und es ist auch tatsächlich für alle .
  • Die ersten Pillai-Primzahlen sind die folgenden:
23, 29, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 109, 137, 139, 149, 193, 227, 233, 239, 251, 257, 269, 271, 277, 293, 307, 311, 317, 359, 379, 383, 389, 397, 401, 419, 431, 449, 461, 463, 467, 479, 499, 503, 521, 557, 563, 569, 571, 577, 593, 599, 601, 607, 613, 619, 631, 641, 647, 661, 673, … (Folge A063980 in OEIS)
  • Die ersten EHS-Zahlen sind die folgenden:
8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, …
Die kleinsten zu obiger Liste dazugehörenden (es gibt mehrere) sind die folgenden:
61, 71, 83, 23, 59, 61, 661, 23, 71, 521, …
Beispiel: Den beiden obigen Listen kann man jeweils an der 7. Stelle die EHS-Zahl und die Primzahl entnehmen. Und tatsächlich ist und es ist auch tatsächlich für alle .
  • Es gibt unendlich viele Pillai-Primzahlen.[1]
  • Es gibt unendlich viele EHS-Zahlen.[1]

Ungelöste Probleme

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Die folgenden ungelösten Probleme werden in [1] aufgeworfen:

  • Sei die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich und die Anzahl der Pillai-Primzahlen kleiner oder gleich .
Ist ?
  • Sei die Anzahl der EHS-Zahlen kleiner oder gleich .
Existiert ?
Wenn ja, gegen welche Wert geht dieser Limes?
Es ist und und und und .
Es könnte sein, dass der Limes beträgt, falls er existiert.

Einzelnachweise

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  1. a b c d e G. E. Hardy, M. V. Subbarao: A Modified Problem of Pillai and Some Related Questions. The American Mathematical Monthly 109 (6), 2002, S. 554–559, abgerufen am 13. Juni 2018.
  • G. E. Hardy, M. V. Subbarao: A Modified Problem of Pillai and Some Related Questions. In: The American Mathematical Monthly. Band 109, Nr. 6, 2002, S. 554–559.
  • R. K. Guy: Unsolved Problems in Number Theory. 3. Auflage. Springer-Verlag, New York 2004, ISBN 0-387-20860-7.