Quotientennorm
Eine Quotientennorm oder Quotientenhalbnorm ist in der Funktionalanalysis eine auf natürliche Weise erzeugte Norm bzw. Halbnorm auf einem Faktorraum.
Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es seien ein normierter Raum und ein Untervektorraum. Auf dem Faktorraum definiere man
- .
Dann ist durch diese Definition eine Halbnorm auf dem Faktorraum gegeben; sie ist genau dann eine Norm, wenn der Unterraum abgeschlossen ist, man nennt sie die Quotientennorm bzw. Quotientenhalbnorm.
Quotient nach einem Kern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ist ein abgeschlossener Unterraum des normierten Raumes , so ist die Quotientenabbildung linear, stetig, bildet die offene Einheitskugel von auf die offene Einheitskugel von ab und es ist . Die Operatornorm der Quotientabbildung ist , falls ein echter Unterraum ist, anderenfalls gleich .
Seien umgekehrt normierte Räume und eine lineare Abbildung, die die offene Einheitskugel von auf die offene Einheitskugel von abbildet. Dann ist stetig, surjektiv und die Isomorphie ist eine Isometrie.
Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Viele Eigenschaften vererben sich auf die Quotientennorm:
- Ist ein Banachraum und ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch ein Banachraum, d. h. die Vollständigkeit vererbt sich auf die Quotientennorm.
- Ist ein Hilbertraum und ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch ein Hilbertraum, d. h. auch die Quotientennorm wird durch ein Skalarprodukt erzeugt.
- Ist ein gleichmäßig konvexer Raum und ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch gleichmäßig konvex.
- Ist eine Banachalgebra und ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist auch eine Banachalgebra, d. h. die Submultiplikativität der Norm überträgt sich auf die Quotientennorm.
- Ist eine C*-Algebra und ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist auch eine C*-Algebra, d. h. die C*-Eigenschaft der Norm gilt auch für die Quotientennorm.
Quotientenhalbnormen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Topologie eines lokalkonvexen Raumes wird durch eine Menge von Halbnormen erzeugt. Sei ein Unterraum. Für jedes ist die Quotientenhalbnorm eine Halbnorm auf dem Quotientenraum , wobei
- .
Dann stimmt die Finaltopologie auf mit der durch die Halbnormen erzeugten Topologie überein, insbesondere ist der Quotientenraum wieder lokalkonvex.
Quelle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Seite 54