Satz vom abgeschlossenen Bild

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Der Satz vom abgeschlossenen Bild ist ein mathematischer Satz aus dem Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er macht eine Aussage darüber, wann das Bild eines stetigen linearen Operators abgeschlossen ist.

Ist ein stetiger linearer Operator zwischen normierten Räumen, so erklärt man den dualen Operator durch .

Für einen Unterraum sei , das ist der Unterraum im Dualraum, der aus allen stetigen linearen Funktionalen besteht, die auf verschwinden. Für einen Unterraum definiert man analog einen Unterraum in durch die Formel . (In der Literatur findet man dafür auch die Bezeichnung und nimmt damit eine Mehrdeutigkeit der Bezeichnung in Kauf.)

Mit Hilfe des Trennungssatzes (bzw. des Satzes von Hahn-Banach) zeigt man und , wobei „ker“ und „im“ für Kern und Bild eines Operators stehen. Eine derartige Beziehung ist aus der linearen Algebra vertraut. Entsprechend würde man eine analoge Formel wie erwarten, die aber im Allgemeinen nicht gelten kann, denn ist stets abgeschlossen, das Bild eines stetigen linearen Operators hingegen im Allgemeinen nicht. Ist z. B. der Banachraum aller Nullfolgen, so ist ein stetiger linearer Operator mit dichtem (also nicht-abgeschlossenem) Bild. Ein derartiges Phänomen kann in der linearen Algebra, d. h. bei endlichdimensionalen Räumen, nicht auftreten. Um zu der aus der linearen Algebra erwarteten Formel zu gelangen, muss man also die Abgeschlossenheit des Bildraums voraussetzen. Dies erweist sich als ausreichend und äquivalent zur entsprechenden Aussage über den dualen Operator:

Satz vom abgeschlossenen Bild

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Seien und Banachräume und ein stetiger linearer Operator. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  • ist abgeschlossen.
  • .
  • ist abgeschlossen.
  • .

Für allgemeine normierte Räume gilt dieser Satz nicht. So hat z. B. ein abgeschlossenes Bild (weil surjektiv ist!), aber der duale Operator, der mit den üblichen Identifikationen bei Folgenräumen gleich der Inklusionsabbildung ist, hat kein abgeschlossenes Bild.

Sind und stetige lineare Operatoren zwischen Banachräumen, so kann man daraus die Sequenz

bilden, wobei 0 für den Nullvektorraum stehe, und die Frage nach der Exaktheit stellen. Die angegebene Sequenz ist genau dann exakt, wenn die duale Sequenz

exakt ist. Ist nämlich die Ausgangssequenz exakt, so sind die Bilder von und abgeschlossen mit . Daher sind nach obigem Satz auch die Bilder von und abgeschlossen, und es folgt

.

Das bedeutet Exaktheit der dualen Sequenz. Genauso folgt die Exaktheit der Ausgangssequenz aus der Exaktheit der dualen Sequenz.

  • R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8.