Schottky-Gruppe

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Fundamentalbereich einer von 3 loxodromischen Isometrien erzeugten Schottky-Gruppe

In der Mathematik sind Schottky-Gruppen gewisse Kleinsche Gruppen, die erstmals 1877 von Friedrich Schottky untersucht wurden.

Klassische Schottky-Gruppen

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Wir betrachten die Riemannsche Zahlenkugel mit der Wirkung von durch gebrochen-lineare Transformationen.

Man nehme paarweise disjunkte Kreisscheiben

in . Für gibt es Abbildungen , die jeweils das Innere von bijektiv auf das Äußere von abbilden. Die von erzeugte Untergruppe ist eine (klassische) Schottky-Gruppe.

Allgemeine Schottky-Gruppen

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Allgemeiner kann man disjunkte, von Jordan-Kurven berandete Gebiete betrachten. Falls es Abbildungen gibt, die jeweils das Innere von bijektiv auf das Äußere von abbilden, dann wird die von den erzeugte Gruppe als Schottky-Gruppe bezeichnet. Im Rahmen dieser allgemeineren Definition werden die im vorherigen Abschnitt definierten Gruppen dann als klassische Schottky-Gruppen bezeichnet.

Man kann zeigen, dass alle Schottky-Gruppen freie Gruppen und diskrete Untergruppen von sind. Die erste Eigenschaft folgt aus dem Kombinationssatz von Klein und die zweite aus dem Poincaréschen Polyedersatz.

Jede nicht-elementare Kleinsche Gruppe hat zahlreiche Untergruppen, die Schottky-Gruppen sind.[1] Der Grund dafür ist, dass hinreichend hohe Potenzen gegebener loxodromischer Isometrien disjunkte "isometric circles" haben und deshalb eine Schottky-Gruppe erzeugen.

Schottky-Gruppen im hyperbolischen Raum

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Hyperbolische Henkelkörper

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Die Riemannsche Zahlenkugel ist der Rand im Unendlichen des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes , die Kreise beranden jeweils Halbsphären und die entsprechen jeweils loxodromischen Isometrien, welche das Äußere von bijektiv auf das Innere von abbilden. Der Quotientenraum ist dann homöomorph zum Inneren eines Henkelkörpers.

Limesmenge und Diskontinuitätsbereich

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Die Limesmenge einer Schottky-Gruppe ist eine Cantormenge. Das Komplement ist der Diskontinuitätsbereich .

Der Quotient ist eine Riemannsche Fläche. Die Vereinigung ist ein Henkelkörper.

Charakterisierung von Schottky-Gruppen

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Nach einem Satz von Maskit[2] sind die folgenden Eigenschaften einer diskreten Untergruppe äquivalent:

  • ist eine Schottky-Gruppe.
  • ist das Innere eines Henkelkörpers.
  • ist eine freie Gruppe und alle sind loxodromisch.

Für diskrete Untergruppe , deren Elemente loxodromisch sind, hat Hou bewiesen, dass sie genau dann klassische Schottkygruppen sind, wenn die Hausdorffdimension ihrer Limesmenge kleiner als 1 ist.[3]

Schottky-Uniformisierung

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Eine Schottky-Uniformisierung einer Riemannschen Fläche ist gegeben durch eine Schottky-Gruppe , so dass biholomorph zu der gegebenen Riemannschen Fläche ist. Nach einem Satz von Koebe besitzt jede Riemannsche Fläche eine Schottky-Uniformisierung.

Man kann zu einer Riemannschen Fläche sogar zu jeder Familie homologisch unabhängiger einfacher geschlossener Kurven eine Schottky-Uniformisierung finden, so dass die gegebenen Kurven jeweils eine Kreisscheibe im Henkelkörper beranden.

Caroline Series: A crash course on Kleinian groups. Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste 37 (2005), no. 1–2, 1–38 (2006). (S. 16–17)

Einzelnachweise

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  1. Theorem 2.9 in: Matsuzaki-Taniguchi: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998. ISBN 0-19-850062-9
  2. Theorem 4.23 in: Matsuzaki-Taniguchi, op.cit.
  3. Yong Hou: The classification of Kleinian groups of Hausdorff dimensions at most one