Split-Operator-Methode

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Die Split-Operator-Methode (SOP) ist ein numerisches Verfahren mit dem die zeitabhängige Schrödingergleichung gelöst werden kann. Bei der Methode wird der Hamiltonoperator in einen kinetischen Teil (Impulsteil) und in einen Potentialteil gespalten und einzeln angewendet. Dabei wird von der schnellen Fourier-Transformation (FFT) Gebrauch gemacht, um zwischen Impulsraum und Ortsraum zu wechseln.

Die Schrödingergleichung

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Die Wellenfunktion auf einem äquidistanten Gitter dargestellt (Ortsraum)
Die Wellenfunktion auf einem äquidistanten Gitter dargestellt (Impulsraum)

Die zeitabhängige Schrödingergleichung ist definiert als

wobei der Hamiltonoperator ist.

Die Wellenfunktion wird im Ortsraum auf einem äquidistanten Gitter dargestellt. Als Startwerte werden die Werte von zur Zeit an den Gitterpunkten vorgegeben. Durch das Verfahren wird die Wellenfunktion zu einem späteren Zeitpunkt berechnet.

Die Wirkung des Hamiltonoperators auf eine Wellenfunktion wird mit der schnellen Fourier-Transformation berechnet. Dazu wird neben dem Gitter im Ortsraum auch ein Gitter im Impulsraum benötigt. Die Auflösung im Impulsraum ist durch die Länge des Gitters im Ortsraum festgelegt. Es gilt , wobei die Anzahl der Gitterpunkte ist.

Anwendung der diskreten Fourier-Transformation

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Der Potentialoperator besitzt im Ortsraum eine diagonale Matrixdarstellung und wirkt daher lokal auf jeden Gitterpunkt :

Genauso wird der kinetische Operator mit seiner diagonalen Darstellung im Impulsraum berechnet. Für jeden Gitterpunkt gilt:

Dabei ist die diskrete Darstellung der Wellenfunktion im Impulsraum durch die diskrete Fourier-Transformation gegeben:

In Vektorschreibweise lautet diese Gleichung

mit

Entsprechend erhält man für die Rücktransformation in den Ortsraum

beziehungsweise

mit den Gitterschrittweiten bzw. . Hierbei ist die Länge des Gitters im Ortsraum und die Zahl der Punkte im Orts- und Impulsraum. Die Konstante wird nur benötigt, wenn die richtige Normierung der Funktion gewünscht wird. Die Fourier-Transformation erhält die Norm der Vektoren und .

Split-Operator-Methode

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Die Berechnung der -Funktion eines Operators wird in der Diagonaldarstellung des Operators besonders einfach. Die Split-Operator-Methode verwendet eine Zerlegung des Hamiltonoperators in die Operatoren für kinetische Energie und für potentielle Energie , welche im Impuls- bzw. Ortsraum Diagonalform annehmen.

Der durch die Nicht-Vertauschbarkeit von und entstehende Fehler kann durch die symmetrische Aufspaltung

auf Terme der Größenordnung reduziert werden: Mit und erhält man für die rechte Seite

Der führende Fehlerterm ist somit proportional zu .

Eine Koordinatentransformation vom Orts- in den Impulsraum ermöglicht eine einfache Berechnung von

Mit der diagonalen Darstellung des Operators der kinetischen Energie

erhält man

Die Koordinatentransformation erfolgt auf dem -Punkt-Gitter mit Hilfe der diskreten Fourier-Transformation:

    für  

oder .

Numerischer Algorithmus

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Durch Zusammenfassen der aufeinanderfolgenden Terme zweier Zeitschritte lässt sich die Zahl der Fourier-Transformationen, d. h. der numerische Aufwand, reduzieren: , und die beiden -Funktionen mit ergeben .

Die Wellenfunktion nach Zeitschritten erhält man also durch:

  • Fourier-Transformation von
  • Multiplikation mit den Diagonalelementen (halber Zeitschritt)
  • Rücktransformation
  • Multiplikation mit den Diagonalelementen
  • Fourier-Transformation
  • Multiplikation mit den Diagonalelementen (ganzer Zeitschritt)
  • usw., bis beim letzten Schritt noch einmal eine Multiplikation mit halben Zeitschritt wie in der zweiten Zeile notwendig wird.
  • I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, G. Musiol, H. Muehlig: Taschenbuch der Mathematik. Deutsch Harri GmbH, 2008.
  • T. Fließbach: Quantenmechanik: Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. 5. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, 2008, ISBN 978-3-8274-2020-6.
  • Herbert Sager: Fourier-Transformation. vdf Hochschulverlag, Zürich 2012, ISBN 978-3-7281-3393-9.
  • A. Askar, A. S. Cakmak: Explicit integration method for the time‐dependent Schrodinger equation for collision problems. In: Journal of Chemical Physics. Band 68, Nr. 6, 1978, S. 2794–2798, doi:10.1063/1.436072.
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  • Michael Hintenender: Propagation von Wellenpaketen. In: MPQ-Berichte. MPQ163. Garching 1992 (online).