Eine Verallgemeinerung der Fibonacci-Folge ist entweder eine Erweiterung der Fibonacci-Folge auf größere Definitionsbereiche als die natürlichen Zahlen oder eine Verallgemeinerung des Bildungsgesetzes.
Wenn man das Bildungsgesetz der Fibonacci-Folgen umkehrt, erhält man
.
Mit dieser Formel kann man rekursiv Fibonacci-Zahlen zu negativen ganzen Zahlen berechnen. Ferner gilt die Formel von Moivre-Binet auch für negative ganze Zahlen: Für den goldenen Schnitt
gilt:
![{\displaystyle 1+{\frac {1}{\varphi }}=\varphi \Leftrightarrow {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1\Leftrightarrow 1-\varphi -1={\frac {1}{1-\varphi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d76ed6103c3002f20797bf1a3b38c9bb4b6e67f)
Setzt man
, so folgt aus
, ![{\displaystyle {\tfrac {\varphi ^{1}-\psi ^{1}}{\sqrt {5}}}=1=f_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f6dc6dc29d4b51d224e31fa86e9ab27d27753c)
und
![{\displaystyle f_{-(n+1)}=f_{-(n-1)-2}=f_{-(n-1)}-f_{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90375e7fc142d1b55e629cd5b96473f7dd9c4ba3)
.
Der Induktionsschluss ergibt
,
so dass schließlich die Formel von Moivre-Binet
![{\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} :f_{n}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13db67f2d1cd23219fd2dd6033b5f7d0f9a1147f)
für alle ganzen Zahlen gilt.
Die geschlossene Form für die
-te Fibonacci-Zahl lautet für ganze Zahlen (siehe oben):
,
wobei
der goldene Schnitt ist. Für den goldenen Schnitt
gilt die folgende Gleichung:
![{\displaystyle 1+{\frac {1}{\Phi }}=\Phi \Leftrightarrow (-1){\frac {1}{\Phi }}=1-\Phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366fe78ec04e80da09d3d5a783f505b98ffc692f)
![{\displaystyle \Rightarrow (1-\Phi )^{n}=(-1)^{n}\left({\frac {1}{\Phi }}\right)^{n}=(-1)^{n}\Phi ^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32d7ff6f74c0de0388367dc9781cd520ecef804)
Ist
eine ganze Zahl, dann gilt jedoch:
![{\displaystyle (-1)^{n}=\cos(n\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35efd6461d2d0a3d15253101b2c62260bd3ea498)
Deshalb ist die stetige und analytische[1] Funktion
![{\displaystyle \operatorname {Fib} (x)={\frac {\Phi ^{x}-\cos(x\pi )\Phi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/043967b88d82d16e589e029ff30520f13dbe204a)
eine Fortsetzung der Fibonacci-Zahlen auf den komplexen Zahlen.
Die Fibonacci-Folge ist ein Spezialfall der Lucas-Folge.
Sei
eine Folge in
, die für
durch das rekursive Bildungsgesetz
![{\displaystyle g_{n+2}=g_{n+1}+g_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562b1185dd4525788209845d56bba413b8dca5c6)
definiert ist, so ist eine solche Folge eine Verallgemeinerung der Fibonacci-Folge, da diese entsteht, wenn man
und
setzt.
Für das
-te Folgenglied dieser Folge gibt es einen geschlossenen Ausdruck:
,
wobei
die
-te Fibonacci-Zahl ist. Dies folgt aus vollständiger Induktion mit Induktionsanfang
![{\displaystyle g_{0}=0\cdot g_{1}+1\cdot g_{0}=f_{0}\cdot g_{1}+f_{-1}\cdot g_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501a5d5329a755eaf5edc3a2f409b88d323668ff)
und Induktionsschritt
![{\displaystyle g_{n}=g_{n-1}+g_{n-2}=g_{1}\cdot (f_{n-1}+f_{n-2})+g_{0}\cdot (f_{n-2}+f_{n-3})=g_{1}\cdot f_{n}+g_{0}\cdot f_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e31a3a61f2220341280e94a918f26d399b0f9f)
Ist
ein Vektorraum und sind
, kann man eine Folge
von Vektoren
rekursiv definieren durch
.
Wie oben gilt dann die Formel
.
Wegen der Gleichung
![{\displaystyle g_{n}=f_{n}\cdot g_{1}+f_{n-1}\cdot g_{0},\quad n\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf13e7c1dd90a370d89a91dc7173e170e0f2af8)
ist die Menge der Folgen
mit
ein zweidimensionaler Teilraum des unendlichdimensionalen
-Vektorraums aller komplexen Folgen, wobei
und
(mit
) eine Basis bilden.
- ↑ Harry J. Smith: What is a Fibonacci Number? In: geocities.com. 20. Oktober 2004, archiviert vom Original am 20091027103713; abgerufen am 13. Januar 2015 (englisch).