Alternierende Matrix

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Eine alternierende Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, die schiefsymmetrisch ist und deren Hauptdiagonaleinträge alle gleich null sind. In einem Körper mit Charakteristik ungleich zwei folgt die zweite Bedingung aus der ersten, weshalb alternierende Matrizen häufig mit schiefsymmetrischen Matrizen gleichgesetzt werden. Alternierende Matrizen werden in der linearen Algebra zur Charakterisierung alternierender Bilinearformen verwendet. Die Determinante einer alternierenden Matrix gerader Größe kann mit Hilfe ihrer pfaffschen Determinante angegeben werden.

Eine quadratische Matrix mit Einträgen aus einem beliebigen Körper heißt alternierend, wenn

für und

für gilt.[1] Eine alternierende Matrix ist demnach eine schiefsymmetrische Matrix, deren Hauptdiagonaleinträge alle gleich null sind. Ist die Charakteristik des Körpers ungleich zwei, dann folgt die zweite Bedingung aus der ersten, in einem Körper mit Charakteristik zwei gilt dies jedoch nicht.[2]

In den folgenden Beispielen sei der endliche Körper der Restklassen modulo , wobei die Restklasse der geraden Zahlen, und die Restklasse der ungeraden Zahlen repräsentiere. In diesem Körper gilt , er hat also die Charakteristik . Die beiden alternierenden Matrizen der Größe mit Einträgen aus diesem Körper sind

und die insgesamt acht alternierenden Matrizen der Größe sind

.

In diesem Körper sind die schiefsymmetrischen Matrizen gerade die symmetrischen Matrizen, die auch Einsen auf der Diagonale aufweisen dürfen.

Die Bilinearform zu einer alternierenden Matrix ist alternierend, das heißt,

für alle . Umgekehrt ist in einem endlichdimensionalen Vektorraum die Darstellungsmatrix

einer alternierenden Bilinearform bezüglich einer beliebigen Basis stets eine alternierende Matrix.[3]

Der Rang einer alternierenden Matrix ist stets gerade. Weiter existiert eine reguläre Matrix , sodass nach Kongruenztransformation

gilt, wobei die Einheitsmatrix der Größe ist.[3] Eine alternative Normaldarstellung ist

mit genau Blöcken der Form .[3]

Ist gerade, dann kann die Determinante einer alternierenden Matrix mit Hilfe der pfaffschen Determinante durch

angegeben werden.[4] Ist ungerade, dann gilt stets

.

Für weitere Eigenschaften alternierender Matrizen siehe Schiefsymmetrische Matrix#Eigenschaften.

Einzelnachweise

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  1. Erich Lamprecht: Lineare Algebra 2. Springer, 2013, S. 77.
  2. Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra: Unter Einschluss der linearen Algebra. 2. Band. Vieweg, 1988, S. 365.
  3. a b c Leslie Hogben (Hrsg.): Handbook of Linear Algebra. CRC Press, 2006, S. 12-5.
  4. Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra: Unter Einschluss der linearen Algebra. Band 2. Vieweg, 1988, S. 391.