Benutzer:Hagman/divergente Reihe

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Eine Summationsmethode oder Summationsverfahren ist ein mathematisches Verfahren, das einer Reihe einen (Summen-)Wert zuordnet, möglicherweise sogar in Fällen, in denen die Reihe divergiert, d.h. wenn die Folge ihrer Teilsummen keinen Grenzwert hat.

Eines der bekanntesten Beispiele für eine divergente Reihe ist die harmonische Reihe

deren Teilsummen nicht beschränkt sind. Je nach Kontext kann es aber durchaus sinnvoll sein, auch solch einer divergenten Reihe einen „Summen“-Wert zuzuordnen. Dieser braucht in keinem anschaulichen Zusammenhang mit den Teilsummen zu stehen, könnte beispielsweise negativ sein, obwohl alle Teilsummen positiv sind.

Beispielsweise liefert die Cesàro-Summation (s.u.) für die divergente Reihe

,

deren zugehörige Teilsummen immer abwechselnd 1 und 0 sind, den Wert . Die Cesàro-Summation basiert auf einer Mittelwertbildung, andere Methoden beruhen auf der Fortsetzung zugehöriger analytischer Funktionen. Besonders in der Physik werden zahlreiche verschiedene Methoden zur Regularisierung verwendet.

Äquivalent zum Summieren einer divergenten Reihe ist es, einer divergenten Folge (nämlich der Teilsummen) einen verallgemeinerten „Grenz“-Wert zuzuordnen.

Formale Definition

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Sei ein Körper (i.a. der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen). Ein Summationsverfahren ist eine partielle Abbildung von der Menge der -wertigen Folgen nach , also eine auf einer Teilmenge definierte Abbildung .

Bemerkung: In dieser Form besteht noch kein Zusammenhang mit der Summation konvergenter Reihen. Dies ergibt sich erst im Zusammenspiel mit weiteren Eigenschaften, insb. Regularität (s.u.).

Ein Beispiel für ein Summationsverfahren ist die in diesem Artikel mit bezeichnete gewöhnliche Summierung konvergenter Reihen:

.


Mit wird in diesem Artikel die lineare Abbildung in bezeichnet, die die Glieder einer Folge in um eins nach links verschiebt und das erste Glied fortlässt:

.

Eigenschaften von Summationsmethoden

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Zwei Summationserfahren und heissen konsistent, falls sie dort übereinstimmen, wo beide definiert sind, falls also für alle gilt, oder kurz: . Gilt zusätzlich , so heisst mindestens so stark wie . Dies definiert eine Halbordnung auf der Menge der Summationsverfahren.

Die folgenden Eigenschaften sind besonders wünschenswert:

  1. Regularität: Die Summationsmethode regulär, falls sie mindestens so stark wie ist, d.h. für gilt , falls die Reihe konvergiert.
  2. Linearität: Die Summationsmethode heisst linear, falls ein Untervektorraum und ein lineares Funktional ist, d.h.
    1. falls und definiert sind, so ist auch definiert und es gilt , und
    2. falls ein Skalar aus dem Grundkörper ist, so ist mit auch definiert und es gilt .
  3. Stabilität: Die Summationsmethode heisst stabil, wenn endlich viele Summanden „herausgezogen“ oder vorangestellt werden können, formal: und für alle gilt .

Bemerkungen: Die Methode ist trivialerweise regulär, linear und stabil. Aber nicht jede in Anwendungen wichtige Summationsmethode erfüllt alle drei Kriterien. So ist die Borel-Summation nicht stabil und einige bedeutende Extrapolations-Methoden aus der Numerik sind weder regulär noch linear.

Verallgemeinerter Grenzwert

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Ist eine Folge, so kann man dieser umkehrbar eindeutig eine Reihe zuordnen, indem man und ansonsten setzt. Dann gilt

und insb. konvergieren entweder beide Seiten oder keine. Wendet man auf der rechten Seite anstelle der gewöhnlichen Summation eine Summationsmethode an, so ergibt sich auf diese Weise für die linke Seite eine Verallgemeinerung des Grenzwert-Begriffs. Formal ist dies ebenfalls zunächst nur eine partielle Abbildung . Eventuelle Eigenschaften der benutzten Summationsmethode übersetzen sich in ähnliche Eigenschaften des verallgemeinerten Grenzwertes :

  • Ist regulär, so gilt , wenn die Folge konvergiert.
  • Ist linear, so ist auch linear
  • Ist stabil, so gilt stets , wenn aus durch Hinzufügen, Fortlassen oder Veränderung endlich vieler Folgenglieder entsteht.

Zu einer Folge betrachte die Teilsummenfolge , gegeben durch . Hierzu wiederum bilde man die Mittelwerte

Setze

sofern der Grenzwert existiert. Die so erklärte (gewöhnliche) Cesàro-Summe ist eine reguläre, stabile, lineare Summationsmethode und stärker als die gewöhnliche Summation. Bildet man erneut Mittelwerte

so gelangt man zu

und durch weiteres Wiederholungen der Mittelwertbildung zu höheren Cesàro-Summen , usw., die sämtlich regulär, stabil und linear sind. Lässt man den Schritt der Mittelwertbildung aus, ergibt sich noch . Für ist dann stets stärker als .

Verallgemeinerung: Nørlund-Summation

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Anstelle des arithmetischen Mittels, wie es bei der gewöhnlichen Cesàro-Summation eingesetzt wird, kann man gewichtete Mittelwerte betrachten. Sei eine Folge positiver Zahlen mit

.

Wiederum ausgehend von der Partialsummenfolge betrachte

und setze

sofern der Grenzwert existiert. Die Nørlund-Methode ist regulär, linear und stabil und zwei zu verschiedenen gehörige Nørlund-Methoden sind konsistent. Die Cesàro-Summe () ergibt sich als Spezialfall, wenn man

wählt, die gewöhnliche Summation ergibt sich mit und sonst.

Abelsche Summation

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(Der Begriff ist nicht zu verwechseln mit: Abelsche partielle Summation.)

Zur gegebenen Folge wird die Potenzreihe

.

betrachtet. Die Abelsche Summation setzt

sofern die Potenzreihe für alle mit konvergiert und der Grenzwert existiert.

Die Abelsche Summation ist regulär, linear und stabil. Zudem ist sie stärker als die Cesàro-Summation für jedes .

Verallgemeinerung der Abelschen Summation

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Potenzreihen sind spezielle verallgemeinerte Dirichlet-Reihen. Entsprechend kann man die Abelsche Summation verallgemeinern: Sei eine unbeschränkte, streng monotone Folge nichtnegativer reeller Zahlen. Die verallgemeinerte Dirchlet-Reihe

konvergiere für alle positiven . Dann ist die verallgemeinerte Abel-Summation definiert über die stetige Fortsetzung nach 0, sofern diese existiert, also als

.

Die gewöhnliche Abelsche Summation ergibt sich als Spezialfall durch Substitution mit der Wahl .

Verallgemeinerte Abelsche Summationen sind regulär, linear und stabil, aber zwei zu verschiedenen -Folgen gehörige sind nicht immer konsistent.


Sätze über Summationsmethoden

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Für eine gegebene Summationsmethode ist der Nachweis ihrer eventuellen Regularität bedeutsam. Ein solches Resultat wird auch Abelscher Grenzwertsatz für genannt, in Anlehnung an Abels ursprünglichen Grenzwertsatz für Potenzreihen. Für Summationsmethoden, die stärker als sind, kann man in der Gegenrichtung überlegen, unter welchen zusätzlichen (Wachstums-)Bedingungen an die aus der -Summierbarkeit auch die Konvergenz der Reihe folgt. Ein solches Resultat wird als Tauberscher Satz für bezeichnet, wiederum in Anlehnung an das entsprechende ursprüngliche Resultat Alfred Taubers betreffend Potenzreihen und die Wachstumsbedingung .

Das Lemma von Zorn lässt sich auf die „stärker als“-Halbordnung anwenden, wodurch die Existenz einer regulären, linearen, stabilen Fortsetzung von auf den gesamten Vektorraum aller Folgen gezeigt werden kann. Aufgrund der nicht-konstruktiven Natur des Zornschen Lemmas lässt sich jedoch keine solche Fortsetzung konkret angeben, so dass die Existenzaussage für die praktische Anwendung eher bedeutungslos ist. Im Fall kann man auf den Unterraum der Folgen mit beschränkten Partialsummen sogar derart fortsetzen, dass auch für die Fortsetzung gilt, aber auch dies gelingt nur nicht-konstruktiv.

Axiomatischer Zugang

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Nimmt man Regularität, Linearität und Stabilität als Axiome, so kann man viele divergente Reihen durch elementare Umformungen summieren. Beispielsweise ergibt sich im Fall für die geometrische Reihe

ohne Betrachtung der Konvergenz. Dies bedeutet jedoch lediglich, dass jede stabile, lineare Summationsmethode enweder den Wert zuweisen muss oder gar keinen (endlichen) Wert. Für welche dies aber tatsächlich der Fall ist, hängt von der Summationsmethode ab. So ist für der Wert nur für definiert, für alle Mittelwert-bildenden Summationsmethoden allenfalls für . In der Tat ergibt sich für die Cesàro-Summation . Eine Summationsmethode, die einen Wert zuweist, kann hingegen nicht zugleich linear und stabil sein, da sich sonst der Widerspruch ergäbe.

Auch andere oszillierende Reihen lassen sich so in den Griff bekommen:

gilt für jede stabile, lineare Summationsmethode, die dieser Reihe überhaupt einen Wert zuweist, beispielsweise höhere Cesàro-Summen ab .