Benutzer:Kl833x9/Gleichgewichtige Zahlen

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Zwei verschiedene natürliche Zahlen, von denen wechselseitig die Summe der echten Teiler der einen Zahl gleich der Summe der echten Teiler der anderen Zahl ist, bilden ein Paar gleichgewichtiger Zahlen.

Definition

Wie oben bereits in Worten angegeben, werden gleichgewichtige Zahlen wie folgt definiert:

Wenn

$a,b\in \mathbb {N}$

und

$a=\prod _{i\in \{1,\ldots ,n\}}t_{a_{i}},n>=1,t_{i}\in \mathbb {N} ,t_{i}\neq a$

und

$b=\prod _{j\in \{1,\ldots ,m\}}t_{b_{j}},m>=1,t_{j}\in \mathbb {N} ,t_{j}\neq b$

und als entscheidendes Kriterium

$\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\}}t_{a_{i}}=\sum _{j\in \{1,\ldots ,m\}}t_{b_{j}}$

dann gilt:

$a{\stackrel {\sim }{_{gg}}}b$

Durch das Testen gleicher Teilersummen für zwei verschiedene natürliche Zahlen gemäß der obigen Definition lassen sich weitere Paare gleichgewichtiger Zahlen finden.

Beispiele

Die Menge der gleichgewichtigen Zahlen umfasst für die Teilersumme $\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\}}t_{i}=1$ die Menge aller Primzahlen $\mathbb {P}$.

Beispiele von nicht-leeren Mengen gleichgewichtiger ganzer Zahlen für $\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\}}t_{i}>1$:

Summe der Teiler $\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\}}t_{i}$	Menge gleichgewichtiger Zahlen mit ${\stackrel {\sim }{_{gg}}}$ für $\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\}}t_{i}$
6	{6,25}
8	{10,49}
13	{27,35}
14	{22,169}
15	{16,33}
16	{12,26}
17	{39,55}
19	{65,77}
20	{34,361}
21	{18,51,91}
22	{20,38}
23	{57,85}
25	{95,119,143}

Erstmalige Erwähnung

Gleichgewichtige Zahlen wurden erstmals von dem persischen Mathematiker Muhammad Baqir Yazdi um 1637 in seinem Werk ʿUyūn al-ḥisābʿ (persisch الحساب عيون, deutsch Das Auge des Rechnens) definiert.

Literatur

• J. Sesiano: Two Problems of Number Theory in Islamic Times, Archive for History of Exact Sciences, Bd. 41, Nr. 3 (1991), S. 235-238 (Englisch)
• Alireza Djafari Naini: Geschichte der Zahlentheorie im Orient im Mittelalter und zu Beginn der Neuzeit unter besonderer Berücksichtigung persischer Mathematiker, Verlag Klose & Co. Braunschweig 1982

Weblinks

• Michael Dorner: Zahlentheorie in der Schule, Kapitel Gleichgewichtige Zahlen, (abgerufen am 26. August 2020)