Borwein-Integral

In der Mathematik bezeichnet Borwein-Integral Integralterme, die Produkte der Sinc-Funktion enthalten.

Folgen dieser Integrale sind bekannt dafür, dass sie scheinbare Muster beinhalten, die sich dann aber als falsch herausstellen.

Einfache Folge

Die einfachste Folge sind folgende Integrale, die für die ersten sieben Glieder exakt $\pi /2$, danach aber minimal kleinere Werte liefert.

${\begin{aligned}&A_{1}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\pi /2\\[10pt]&A_{2}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,\mathrm {d} x=\pi /2\\[10pt]&A_{3}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,\mathrm {d} x=\pi /2\end{aligned}}$

Dieses Muster wiederholt sich bis

$A_{7}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,\mathrm {d} x=\pi /2$

Das folgende Glied lautet aber:

${\begin{aligned}A_{8}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}{\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,\mathrm {d} x\\[10pt]&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}\pi \\[10pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}\pi \\[10pt]&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2{,}310057\cdot 10^{-11}\ {\color {red}<}\ {\frac {\pi }{2}}\ .\end{aligned}}$

Auch die folgenden Glieder $A_{9},A_{10},\ldots$ weichen immer weiter von $\pi /2$ ab. Der Grenzwert $A_{\infty }$ liegt bei etwa $\,\pi /2-3{,}52\cdot 10^{-5}$.

Hinweis

Man beachte $1/3+1/5+\ldots +1/13=0{,}9551\ldots \leq 1$,  aber $1/3+1/5+\ldots +1/13+1/15=1{,}0218\ldots \not \leq 1$.

Längere Folge

Wem das noch nicht gereicht hat, die Folge behält dieses Verhalten wesentlich länger bei:

${\begin{aligned}&A_{1\;}=\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\pi /2\\[10pt]&A_{2\;}=\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,\mathrm {d} x=\pi /2\\[10pt]&A_{3\;}=\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,\mathrm {d} x=\pi /2\end{aligned}}$

Dieses Muster wiederholt sich hier bis

$A_{56}=\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,\mathrm {d} x=\pi /2,$

aber nicht mehr bei diesem Glied

$A_{57}=\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,\mathrm {d} x\;\simeq {\frac {\pi }{2}}-2{,}332429\cdot 10^{-138}\ {\color {red}<}\ {\frac {\pi }{2}}\ .$

Hinweis

Man beachte $1/1+1/3+\ldots +1/111=2{,}9944\ldots <3$,  aber $1/1+1/3+\ldots +1/111+1/113=3{,}0032\ldots >3$.

Noch längere Folge

Diese Folge reißt erst nach 14419 Gliedern aus.

${\begin{aligned}&A_{1}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\pi /2\\[10pt]&A_{2}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/11)}{x/11}}\,\mathrm {d} x=\pi /2\\[10pt]&A_{3}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/11)}{x/11}}{\frac {\sin(x/21)}{x/21}}\,\mathrm {d} x=\pi /2\end{aligned}}$

Dieses Muster wiederholt sich bis

$A_{14418}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/11)}{x/11}}\cdots {\frac {\sin(x/144171)}{x/144171}}\,\mathrm {d} x=\pi /2$

Das folgende Glied lautet aber:

$A_{14419}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/11)}{x/11}}\cdots {\frac {\sin(x/144171)}{x/144171}}{\frac {\sin(x/144181)}{x/144181}}\,\mathrm {d} x\ {\color {red}<}\ {\frac {\pi }{2}}\ .$

Hinweis

Man beachte $1/11+1/21+\ldots +1/144171=0{,}999995990\ldots \leq 1$,  aber $1/11+1/21+\ldots +1/144171+1/144173=1{,}000002925\ldots \not \leq 1$.

Allgemeine Formel

Für eine Folge reeller Zahlen, $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$ kann eine geschlossene Form von

$\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,\mathrm {d} x$

gegeben werden. Die geschlossene Form befasst sich mit Summen der $a_{k}$. Für ein n-Tupel $\gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}$ sei $b_{\gamma }:=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}$. Ein solches $b_{\gamma }$ ist eine „alternierende Summe“ der ersten $a_{k}$. Setze $\varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}=\pm 1$. Dann ist

$\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n}$,

wobei

$C_{n}:={\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma })$

Falls $a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|$ gilt $C_{n}=1$.

Weblinks

• David Borwein, Jonathan M. Borwein: Some Remarkable Properties of Sinc and Related Integrals
• 3Blue1Brown: Researchers thought this was a bug (Borwein integrals) auf YouTube, 4. November 2022.