Carleson-Maß

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In der Mathematik ist ein Carleson-Maß eine Art von Maß auf Teilmengen des -dimensionalen euklidischen Raums . Grob gesagt ist ein Carleson-Maß auf einem Gebiet ein Maß, das am Rand von nicht verschwindet, wenn man es mit dem Oberflächenmaß am Rand von vergleicht.

Carleson-Maße finden in der harmonischen Analysis und der Theorie der partiellen Differentialgleichungen zahlreiche Anwendungen, beispielsweise bei der Lösung von Dirichlet-Problemen mit „rauem“ Rand. Die Carleson-Bedingung ist eng mit der Beschränktheit des Poisson-Operators verbunden. Carleson-Maße sind nach dem schwedischen Mathematiker Lennart Carleson benannt.

Sei und sei eine offene (und damit messbare) Menge mit nichtleerem Rand . Sei μ ein Borel-Maß auf , und bezeichne das Oberflächenmaß auf . Das Maß ist ein Carleson-Maß, wenn es eine Konstante gibt, so dass für jeden Punkt und jeden Radius ,

gilt, wobei

die offenen Kugel mit Radius um bezeichnet.

Satz von Carleson für den Poisson-Operator

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Sei die Einheitskreisscheibe in der komplexen Ebene , ausgestattet mit einem Borel-Maß . Für sei der Hardy-Raum auf dem Rand von und der Lp-Raum auf für das Maß . Der Poisson-Operator

ist definiert durch

.

Dann ist der lineare Operator ein beschränkter Operator dann und nur dann, wenn das Maß ein Carleson-Maß ist.

Carleson-Norm und verschwindende Carleson-Bedingung

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Das Infimum der Menge der Konstanten C > 0, für welche die Carlson-Bedingung

erfüllt ist, bezeichnen wir die Carleson-Norm des Maßes .

Wenn C(R) durch das Infimum der Menge von allen Konstanten C > 0, für welche die eingeschränkte Carlson-Bedingung

erfüllt ist, dann sagen wir, dass das Maß μ die verschwindende Carleson-Bedingung erfüllt, wenn C(R) → 0 für R → 0.