Cayley-Menger-Determinante

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In der Mathematik ist die Cayley-Menger-Determinante vor allem bei der Volumenberechnung von Bedeutung.

Sie wurde 1841 von Cayley angegeben und berechnet das Volumen von Dreiecken, Tetraedern und höherdimensionalen Simplizes.

Sei ein Simplex mit Ecken im -dimensionalen Raum .

Sei die symmetrische -Matrix, deren erste Zeile bzw. Spalte sind und deren Einträge für

sind. Dann ist die Cayley-Menger-Determinante des Simplexes definiert als Determinante von .

Volumenberechnung von Simplizes

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Allgemeine Formel

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Das Volumen des Simplexes berechnet sich mittels der Cayley-Menger-Determinante durch

Fläche eines Dreiecks

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Allgemeines Dreieck

Die Fläche eines Dreiecks mit Seitenlängen berechnet sich als Quadratwurzel aus

Das ist eine Umformulierung des Satzes von Heron.

Volumen eines Tetraeders

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Allgemeiner Tetraeder

Das Volumen eines Tetraeders mit Kantenlängen berechnet sich als Quadratwurzel aus

Insbesondere gilt wenn die vier Punkte in einer Ebene liegen.

Eine im Wesentlichen äquivalente Formel war schon im 15. Jahrhundert von Piero della Francesca angegeben worden. Im englischen Sprachraum wird sie häufig als Tartaglia's Formel bezeichnet.

Charakterisierung euklidischer Räume

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Karl Menger verwandte die Cayley-Menger-Determinante, um eine rein metrische Charakterisierung euklidischer Räume unter den metrischen Räumen zu geben.[1] Marcel Berger gab später eine allgemeinere Charakterisierung Riemannscher Mannigfaltigkeiten konstanter Schnittkrümmung mittels der Cayley-Menger-Determinante.[2]

Verschiedene Resultate der Abstandsgeometrie lassen sich mit Hilfe der Cayley-Menger-Determinante beweisen, zum Beispiel der Satz von Stewart.[3]

Die Gruppe der linearen Abbildungen des , welche die Cayley-Menger-Determinante eines Tetraeders (als Funktion der 6 Kantenlängen) invariant lassen, hat Ordnung 23040 und ist isomorph zur Weyl-Gruppe .[4]

Diese Symmetrien erhalten auch die Dehn-Invariante und bilden somit jedes Tetraeder in ein zerlegungsgleiches Tetraeder ab.[5]

  • A. Cayley: A theorem in the geometry of position. Cambridge Mathematical Journal, II:267–271 (1841). online
  • L. Blumenthal: Theory and applications of distance geometry. Clarendon Press, Oxford (1953). Kapitel IV.40
  • M. Berger: Geometry I. Springer-Verlag, Berlin (1987). Kapitel 9.7

Einzelnachweise

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  1. K. Menger: Untersuchungen über allgemeine Metrik. Math. Ann. 100 (1928), no. 1, 75–163.doi:10.1007/BF01448840
  2. M. Berger: Une caractérisation purement métrique des variétés riemanniennes à courbure constante. E. B. Christoffel (Aachen/Monschau, 1979), S. 480–492, Birkhäuser, Basel-Boston, Mass., 1981.
  3. D. Michelucci, S. Foufou: Using Cayley-Menger Determinants for Geometric Constraint Solving. ACM Symposium on Solid Modeling and Applications (2004) online (pdf)
  4. Philip P. Boalch: Regge and Okamoto symmetries, Comm. Math. Phys. 276 (2007), no. 1, 117--130.
  5. J. Roberts.: Classical 6j-symbols and the tetrahedron. Geom. & Top. 3 (1999)