Die Graßmann-Zahlen (nach Hermann Graßmann, häufig auch in Englischer Sprache angepasster Schreibweise Grassmann) sind antikommutierende Zahlen, die im Rahmen des Pfadintegral-Formalismus für Fermionen in den Quantenfeldtheorien auftreten. Ein Pionier ihrer Verwendung in der Quantenfeldtheorie war Felix Berezin. Danach sind sie mathematisch der Teil ungerader Parität einer
-gradierten Algebra aus kommutierenden (Parität
) und nicht-kommutierenden (Parität
) Elementen (Superalgebra). Für die Multiplikation gilt darin für je zwei Elemente
:
.
Seien
Graßmann-Zahlen und
komplexe Zahlen. Dann gilt
- Graßmann-Zahlen sind antikommutativ bezüglich der Multiplikation:
![{\displaystyle \eta \theta =-\theta \eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24392b3fdc0fee5441e6c1982136c14ffd1b1688)
- Graßmann-Zahlen sind kommutativ bezüglich der Addition:
![{\displaystyle \eta +\theta =\theta +\eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d5ab638d5591980fa3f2b646e1d684c7715bfc)
- Graßmann-Zahlen sind kommutativ bezüglich der Multiplikation mit einer komplexen Zahl:
![{\displaystyle a\eta =\eta a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b78f56843acff028ffaf4f39ab792d6c42e0952e)
- Graßmann-Zahlen sind assoziativ sowohl bezüglich Addition als auch der Multiplikation
![{\displaystyle (\eta +\theta )+\zeta =\eta +(\theta +\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64550178898c82e2c9d5bc4f9e108fd8834c75fb)
![{\displaystyle (\eta \theta )\zeta =\eta (\theta \zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ba79c51791d1091e01d4276a5265519590f722)
- Es gelten alle Ausprägungen des Distributivgesetzes:
![{\displaystyle a(\eta +\theta )=a\eta +a\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5688a8d7a8a3fb38ef5a6a4096183d103c9d10a8)
![{\displaystyle \eta (\theta +\zeta )=\eta \theta +\eta \zeta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97f176e7f62480e2475c033d44b3fb001a3987af)
![{\displaystyle \eta (a+b)=a\eta +b\eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d987c87a65e79f5fb348d42cb62320ad9dc20b)
- Die Summe von zwei Graßmann-Zahlen ist eine Graßmann-Zahl:
![{\displaystyle \zeta (\eta +\theta )=-(\eta +\theta )\zeta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f763d76119bb75df341a7b0d40e480b9747441a0)
- Das Produkt einer Graßmann-Zahl mit einer komplexen Zahl ist eine Graßmann-Zahl:
![{\displaystyle (a\eta )\theta =-\theta (a\eta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa59dafbeac34fa19dbadfd5784caf0952b9f11b)
- Das Produkt von zwei Graßmann-Zahlen ist keine Graßmann-Zahl:
![{\displaystyle (\zeta \eta )\theta =-\zeta \theta \eta =\theta (\zeta \eta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83e7649cb9299cc1381c8d92d39216540013d5e)
- Insbesondere ist das Quadrat einer Graßmann-Zahl Null:
![{\displaystyle \theta ^{2}=\theta \theta =-\theta \theta =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b58ca48c403d9acdcd0068a36ab316ef373ec01)
- Eine Funktion kann maximal erster Ordnung in einer Graßmann-Variable sein:
![{\displaystyle f(\eta ,\theta )=a+b\eta +c\theta +d\eta \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c0506d8772ac1f6b0546342f23bb9b17de2b64)
So ist beispielsweise mit der Reihendarstellung der Exponentialfunktion
.
Es ist möglich, Integral- und Differentialrechnung in Bezug auf Graßmann-Zahlen analog zu der in Bezug auf Funktionen komplexer Zahlen zu definieren:
- Differentiation von Graßmann-Zahlen geschieht von links. Sei
. Dann ist:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} \eta }}=b+d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f6fb3a73aad5f463660c9efda4409bcd5b5575)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} \theta }}=c-d\eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea9c9be5ba98b300212e6184a6b7d6bc1c798218)
- Die Integration soll wie gewöhnlich ein lineares Funktional aus dem Funktionenraum in die komplexen Zahlen darstellen, es soll also gelten:
![{\displaystyle \int f(\theta )\mathrm {\,} d\theta \in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0619332ba94010fa481f6776c78140951e931513)
![{\displaystyle \int (af(\theta )+bg(\theta )\,\mathrm {)} d\theta =a\int f(\theta )\,\mathrm {d} \theta +b\int g(\theta )\,\mathrm {d} \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94bc4fc6ba06e150dcfb09ceb9e8137365ee597e)
- Es folgen daraus die Integrationsregeln für Graßmann-Zahlen:
![{\displaystyle \int \theta \,\mathrm {d} \theta =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f77554c853ae7f0e84a978072595e56fa622a8d7)
![{\displaystyle \int 1\,\mathrm {d} \theta =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7519e3aa2c36d83ccc11c97143d963b384dcd6cd)
Graßmann-Variablen werden für den Pfadintegral-Formalismus für Fermionen benötigt. Dazu definiert man das erzeugende Funktional
![{\displaystyle {\mathcal {Z}}[\eta ,{\bar {\eta }}]=\exp \left(-\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{4}x\left({\mathcal {L}}(\psi ,{\bar {\psi }})+\eta {\bar {\psi }}+\psi {\bar {\eta }}\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41bd2b8be97006e09351ffb63e9f8637d5e34cf7)
mit der Lagrangedichte für Fermionen
, den fermionischen Graßmann-wertigen Feldern
und den Graßmann-Zahlen
. Dann gilt beispielsweise für die 2-Punkt Korrelationsfunktion (den fermionischen Propagator):
![{\displaystyle \langle 0|T(\psi (x){\bar {\psi }}(y))|0\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}\,\psi (x){\bar {\psi }}(y){\mathcal {Z}}}{\int {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}{\mathcal {Z}}}}{\Bigg |}_{\eta ,{\bar {\eta }}=0}={\frac {1}{\int {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}{\mathcal {Z}}|_{\eta ,{\bar {\eta }}=0}}}\left({\frac {-\mathrm {i} \delta }{\delta {\bar {\eta }}(x)}}\right)\left({\frac {\mathrm {i} \delta }{\delta \eta (y)}}\right){\int {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}{\mathcal {Z}}}{\Bigg |}_{\eta ,{\bar {\eta }}=0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c409d75bafaf3d61a4b5b2ec982b2b8fa189848)
Sei
ein
-dimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis
und
![{\displaystyle \Lambda (V)=\mathbb {C} \oplus V\oplus \left(V\wedge V\right)\oplus \left(V\wedge V\wedge V\right)\oplus \cdots \oplus \underbrace {\left(V\wedge V\wedge \cdots \wedge V\right)} _{n}\equiv \mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cdf4fef72590381d65d43b60d2c8baab340a8b6)
die äußere Algebra (Graßmann-Algebra) über
, wobei
das äußere Produkt und
die direkte Summe bezeichnet.
Die Graßmann-Zahlen sind die Elemente dieser Algebra.
Das Symbol
wird in der Notation für Graßmann-Zahlen meist weggelassen.
Graßmann-Zahlen sind also von der Form
![{\displaystyle z=\sum _{k=0}^{n}\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24300c6cfc12634340308a341706c9511cea3a86)
für streng wachsende
-Tupel
mit
, und komplexe antisymmetrische Tensoren
vom Rang
.
Der Spezialfall
entspricht den 1873 von William Clifford eingeführten dualen Zahlen.
Für unendlich-dimensionale Vektorräume
bricht die Reihe
![{\displaystyle \Lambda _{\infty }(V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9068261b9bf433807c2b3d87197971f11701d43e)
nicht ab und die Graßmann-Zahlen sind von der Form
![{\displaystyle z=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{n!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}\equiv z_{B}+z_{S}=z_{B}+\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{n!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/186358b23a60c2966597dbc2d977fd00e956104c)
wobei dann
als Körper und
als Seele der Superzahl
bezeichnet wird.
- Michael D. Peskin und Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, Perseus Books Publishing 1995, ISBN 0-201-50397-2.