HOMFLY-Polynom

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Das HOMFLY-Polynom, auch HOMFLY-PT-Polynom, ist in der Knotentheorie eine Verallgemeinerung von Alexander-Polynom und Jones-Polynom, die jedem Knoten ein Polynom in den Variablen und zuordnet. Auch ist es ein Beispiel einer Quanteninvariante.

Der Name setzt sich aus den Initialen der Mitentdecker zusammen: Jim Hoste, Adrian Ocneanu, Kenneth Millett, Peter Freyd, W. B. R. Lickorish, David N. Yetter[1], Józef H. Przytycki, Paweł Traczyk.

Das Polynom wird wie folgt definiert:

wobei Verbindungen sind, die durch Überkreuzen und Glätten gebildet werden.

Das HOMFLY-Polynom einer Verschlingung , die die disjunkte Vereinigung zweier Verschlingungen und ist, ergibt

Es gilt

,

wobei die verbundene Summe bezeichnet; daher ist das HOMFLY-Polynom eines zusammengesetzten Knotens das Produkt der HOMFLY-Polynome seiner Komponenten.

Außerdem ist

,

also kann das HOMFLY-Polynom oft genutzt werden, um zwischen zwei Knoten unterschiedlicher Chiralität zu unterscheiden, obwohl es chirale Paare von Knoten gibt, die dasselbe HOMFLY-Polynom haben, z. B. 942 und 1071.[2]

Das Jones-Polynom und das Alexander-Polynom können aus dem HOMFLY-Polynom wie folgt berechnet werden:

Allgemeiner lässt sich die -Quanteninvariante aus dem Homfly-Polynom berechnen.

Einzelnachweise

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  1. Freyd, P.; Yetter, D., Hoste, J., Lickorish, W.B.R., Millett, K., and Ocneanu, A. (1985). "A New Polynomial Invariant of Knots and Links". Bulletin of the American Mathematical Society 12 (2): 239–246
  2. P. Ramadevi, T.R. Govindarajan, R.K. Kaul: Chirality of Knots 942 and 1071 and Chern-Simons Theory.