Hadamard-Raum

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Ein Hadamard-Raum ist ein mathematisches Objekt aus der Geometrie metrischer Räume. Benannt ist er nach dem Mathematiker Jacques Hadamard.

Ein Hadamard-Raum ist ein vollständiger CAT(0)-Raum.

Äquivalente Definitionen

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Sei ein vollständiger metrischer Raum.

Nach Definition ist genau dann ein Hadamard-Raum, wenn er ein CAT(0)-Raum ist, das heißt, wenn er ein geodätischer metrischer Raum ist und alle geodätischen Dreiecke mindestens so dünn wie ihre Vergleichsdreiecke in der euklidischen Ebene sind. Letztere Bedingung lässt sich umformulieren in die Bedingung

für alle , wobei den Mittelpunkt der Geodäte zwischen und bezeichnet.

Auf Bruhat-Tits geht folgende äquivalente Definition zurück:

Ein vollständiger metrischer Raum ist genau dann ein Hadamard-Raum, wenn es zu jedem Paar von Punkten einen „Mittelpunkt“ gibt, so dass

für alle gilt.

Für Hadamard-Räume gilt eine Verallgemeinerung des Satzes von Cartan-Hadamard. Zu beliebigen gibt es eine eindeutige Geodäte mit . Die Geodäte hängt stetig von und ab.

Weiterhin gelten für Hadamard-Räume alle Eigenschaften von CAT(0)-Räumen.