Kommakategorie

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Eine Kommakategorie ist eine Konstruktion in der mathematischen Kategorientheorie, die 1963 von F. W. Lawvere eingeführt wurde. Der Name ergibt sich aus der ursprünglich von Lawvere verwendeten Notation.

Für die allgemeinste Konstruktion der Kommakategorie betrachtet man zwei Funktoren. Typischerweise ist einer von beiden auf der terminalen Kategorie definiert: viele kategorientheoretische Darstellungen betrachten nur diesen Fall.

Seien , und Kategorien, und Funktoren . Die Kommakategorie ist folgendermaßen definiert:

  • Die Objekte sind Tripel , wobei Objekt in , Objekt in und Pfeil in ist.
  • Die Pfeile von nach sind Paare , wobei und jeweils Pfeile in und sind, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
Die Verkettung von Pfeilen ist durch definiert.[1]

Kategorie der Objekte unter A

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Der erste Spezialfall tritt ein, wenn terminal (d. h. es gibt genau ein Objekt und dessen Identität ist der einzige Morphismus) und identischer Funktor ist (also ). Dann ist in obiger Definition für ein festes Objekt in . Die diesbezügliche Kommakategorie heißt Kategorie der Objekte unter , geschrieben . Die Objekte können kurz notiert werden, da die Festlegung von die Angabe von überflüssig macht; notieren wir kurz als - oft wird auch genannt, insbesondere, wenn es sich um Injektionen handelt. Ähnlich können wir die Darstellung eines Pfeils auf reduzieren, da stets als gewählt wird. Das folgende Diagramm kommutiert:

ist ein Anfangsobjekt von . Ist bereits ein Anfangsobjekt von , so ist isomorph zu .

Beispiele:

  • Die Kategorie der kommutativen, unitären -Algebren für einen Körper ist isomorph zur Kategorie der kommutativen, unitären Ringe unter .

Kategorie der Objekte über A

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Analog können wir identisch und terminal wählen. Wir erhalten dann die Kategorie der Objekte über (wobei das durch ausgewählte Objekt von ist). Diese Kommakategorie notieren wir als ; in der algebraischen Geometrie ist die Bezeichnung üblich. Sie ist das duale Konzept zu Objekten unter . Die Objekte sind Paare mit ; dabei steht für Projektion auf . Ein Pfeil in der Kommakategorie mit Quelle und Ziel wird durch eine Abbildung gegeben, die das folgende Diagramm kommutieren lässt:

ist ein Endobjekt von . Ist bereits ein Endobjekt von , so ist isomorph zu .

Einzelnachweise

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  1. Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. Springer, New York 1998, ISBN 0-387-98403-8, Kap. II.6: Comma Categories