Leibnizregel für Parameterintegrale

Die Leibnizregel für Parameterintegrale erlaubt es die Ableitung eines Parameterintegrals nach seinem Parameter zu berechnen.

Definition

Gegeben sei das Parameterintegral

$F(t)=\int _{a(t)}^{b(t)}f(t,x)\mathrm {d} x,$

wobei die Funktion $f\colon (\alpha ,\beta )\times (c,d)\to \mathbb {R}$, $(t,x)\mapsto f(t,x)$, stetig mit stetiger partieller Ableitung nach der ersten Variablen, ${\tfrac {\partial }{\partial t}}f\colon (\alpha ,\beta )\times (c,d)\to \mathbb {R}$ ist und $a,b\colon (\alpha ,\beta )\to (c,d)$ stetig differenzierbar sind. Dann ist $F$ auf dem offenen Intervall $(\alpha ,\beta )$ stetig differenzierbar.

Für die Ableitung gilt die Leibnizregel für Parameterintegrale:

${\frac {d}{dt}}F(t)=f(t,b(t))b'(t)-f(t,a(t))a'(t)+\int _{a(t)}^{b(t)}{\tfrac {\partial }{\partial t}}f(t,x)\mathrm {d} x.$

Herleitung

Zur Herleitung kann man die Funktion $\textstyle G(t,u,v)=\int _{u}^{v}f(t,x)\mathrm {d} x$ definieren und zeigen, dass sie auf $(\alpha ,\beta )\times (c,d)$ stetig differenzierbar ist: ${\tfrac {\partial }{\partial t}}G$ existiert wegen der Differenzierbarkeit des Parameterintegrals und ist stetig wegen der Stetigkeit des Parameterintegrals. Existenz und Stetigkeit von ${\tfrac {\partial }{\partial u}}G$ und ${\tfrac {\partial }{\partial v}}G$ folgt aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Mit der Kettenregel ergibt sich dann

${\begin{aligned}F'(t)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}G(t,a(t),b(t))={\tfrac {\partial }{\partial t}}G(t,a(t),b(t))\cdot 1+{\tfrac {\partial }{\partial u}}G(t,a(t),b(t))a'(t)+{\tfrac {\partial }{\partial v}}G(t,a(t),b(t))b'(t)\\&=\int _{a(t)}^{b(t)}{\tfrac {\partial }{\partial t}}f(t,x)\mathrm {d} x-f(t,a(t))a'(t)+f(t,b(t))b'(t).\end{aligned}}$

Anwendungen

Anwendung findet die Leibnizregel für Parameterintegrale beispielsweise in der Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen in der Variationsrechnung bei der Extremalisierung von (parametrisierten) Funktionalen.

Weblinks

• Rob Harron: The Leibniz Rule. In: MAT-203. Abgerufen im 1. Januar 1 (englisch).