Quadratische Formen von Zufallsvariablen

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Eine quadratische Form von reellen Zufallsvariablen , die eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzen, ist eine Zufallsvariable, die sich additiv aus Summanden der Form mit reellen Konstanten für zusammensetzt.

Vektoren werden standardmäßig als Spaltenvektoren aufgefasst. Der hochgestellte Index kennzeichnet die Transponierung eines Vektors oder einer Matrix. bezeichnet die Menge der reellwertigen Matrizen mit Zeilen und Spalten. sei die Einheitsmatrix der Ordnung . Für eine quadratische Matrix bezeichnet die Spur der Matrix , das ist die Summe der Diagonaleinträge.

sei ein Zufallsvektor mit Werten in . sei eine quadratische Matrix mit Elementen für . Dann heißt

quadratische Form der reellen Zufallsvariablen .[1]

  • ist eine reelle Zufallsvariable.
  • Falls eine positiv semidefinite Matrix ist, gilt .
  • Es gilt . Daher gilt auch für die symmetrische Matrix . Für viele Eigenschaften quadratischer Formen von Zufallsvariablen stellt daher die Beschränkung auf symmetrische Matrizen keine Einschränkung dar.
  • Es gilt

Erwartungswert einer quadratischen Form

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Satz: sei ein -dimensionaler Zufallsvektor mit dem Erwartungswertvektor und der Kovarianzmatrix . Für jede Matrix gilt

[2]

Diese Aussage gilt unabhängig davon, ob symmetrisch ist und ob invertierbar ist. Unmittelbar aus diesem Satz ergeben sich die folgenden Spezialfälle:

  • Der zentrierte Zufallsvektor hat den Erwartungswertvektor und dieselbe Kovarianzmatrix wie der Zufallsvektor , so dass sich
ergibt.
  • Eine wichtiger Spezialfall ergibt sich, wenn die Kovarianzmatrix invertierbar ist. Dann gilt
,
denn .
  • Für einen Vektor hat der Zufallsvektor den Erwartungswertvektor und dieselbe Kovarianzmatrix wie der Zufallsvektor , so dass sich
ergibt.

Wahrscheinlichkeitsungleichungen für quadratische Formen

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Satz: sei ein -dimensionaler Zufallsvektor mit dem Erwartungswertvektor und der Kovarianzmatrix . Es sei und die quadratischen reellen Matrizen für seien positiv semidefinit. Mit positiven Konstanten für seien die Ereignisse

definiert. Dann gilt

mit

[3][4]

Ein wichtiger Spezialfall ergibt sich für , , und . Dann gelten die Ungleichungen

und

Die letzte Ungleichung wurde bereits 1962 von Samuel Stanley Wilks angegeben[5] und ist eine multivariate Verallgemeinerung der Tschebyscheffschen Ungleichung, die für eine reelle Zufallsvariable mit dem Erwartungswert und der Varianz in der Form

geschrieben werden kann.

  • A. M. Mathai, Serge B. Provost: Quadratic Forms in Random Variables – Theory and Applications (= Statistics: Textbooks and Monographs. Band 126). Dekker, New York / Basel /Hong Kong 1992, ISBN 0-8247-8691-2.
  • D. R. Jensen: Joint Distributions of Quadratic Forms. In: SIAM Journal on Applied Mathematics. Band 42, Nr. 2, 1982, S. 297–301, JSTOR:2101213.

Einzelnachweise

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  1. A.M. Mathai, Serge B. Provost: Quadratic Forms in Random Variables. Definition 3.1.1, S. 25.
  2. A.M. Mathai, Serge B. Provost: Quadratic Forms in Random Variables. Corollary 3.2b.1, S. 51.
  3. D. R. Jensen: Joint Distributions of Quadratic Forms. Theorem 1, S. 297.
  4. A.M. Mathai, Serge B. Provost: Quadratic Forms in Random Variables. Theorem 4.8.1, S. 188.
  5. S. S. Wilks: Mathematical Statistics. Wiley, New York 1962, S. 92 (referenziert nach D. R. Jensen: Joint Distributions of Quadratic Forms, S. 298).