Satz von Erdős (Zahlentheorie)

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Der Satz von Erdős ist ein Lehrsatz der Zahlentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik. Er geht auf den bedeutenden ungarischen Mathematiker Paul Erdős zurück.

Der Satz steht in Zusammenhang mit einer im Jahr 1849 von dem französischen Mathematiker Alphonse de Polignac (1817–1890) formulierten Vermutung, welche besagt, dass jede ungerade natürliche Zahl     eine Darstellung     hat, wobei     eine natürliche Zahl ist, während     eine Primzahl oder     ist.

Mit seinem Satz gelang es Erdős zu zeigen, dass die polignacsche Vermutung in unendlich vielen Fällen falsch ist.[1]

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:[1][2]

Es existiert eine unendliche arithmetische Folge, welche aus lauter ungeraden natürlichen Zahlen     besteht,
von denen „keine“ in der Form     mit einer ganzen Zahl     und einer Primzahl     darstellbar ist.

Lemma zum Beweis

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Der Beweis des Satzes beruht auf dem folgenden elementaren Lemma:

Jede natürliche Zahl     erfüllt stets mindestens eine der folgenden sechs Kongruenzen.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

Daraus folgt, dass für     stets eine von sechs weiteren Kongruenzen erfüllt sein muss, mit deren Hilfe man unter Benutzung des chinesischen Restsatzes den Satz gewinnt.

  • Paul Erdős: On integers of the form 2k+p and some related problems. In: Summa Brasiliensis Mathematicae. Band 2, 1950, S. 113–123 (renyi.hu [PDF]).
  • Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670).

Einzelnachweise

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  1. a b Sierpiński: S. 445.
  2. Erdős: On integers of the form 2k+p and some related problems. In: Summa Brasiliensis Mathematicae. Band 2, 1950, S. 113.