Satz von Mertens (Cauchy-Produkt)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Der Satz von Mertens (nach Franz Mertens) ist ein mathematischer Lehrsatz aus der Analysis, der eine Aussage über die Konvergenz eines Cauchy-Produkts zweier Reihen liefert.

Sind und konvergente Reihen, wobei mindestens eine der beiden absolut konvergiert, so konvergiert das Cauchy-Produkt , wobei ist, gegen .

Ohne Einschränkung sei die absolut konvergente Reihe. Zu zeigen ist nun, dass die Partialsumme gegen konvergiert.

Im Folgenden sei und .

Cauchyprodukt
  1. lässt sich schreiben als
  2. lässt sich schreiben als

Die Differenzbildung 1.- 2. ergibt

Dabei konvergiert gegen Null und mit lässt sich letzte Reihe aufspalten zu

Es gilt

denn letzter Ausdruck ist ein Produkt von einer Nullfolge mit einer beschränkten Folge. Da die Nullfolge beschränkt sein muss, gibt es ein mit . Daher ist

nach dem Cauchy-Kriterium. Also gilt , woraus unmittelbar folgt.

Das Cauchy-Produkt unter bedingter Konvergenz

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind beide Ausgangsreihen nur bedingt konvergent, dann muss das Cauchy-Produkt nicht konvergieren, wie das Beispiel[1] zeigt: Das Cauchy-Produkt der Reihen mit konvergiert nicht, siehe Cauchy-Produktformel#Eine divergente Reihe.

Hardy[2] zeigte allerdings, dass das Cauchy-Produkt auch für zwei nur bedingt konvergente Reihen konvergiert, wenn die Folgen und beschränkt sind. Für die bekanntermaßen nicht absolut konvergenten Ausgangsreihen

mit Wert ist das Cauchy-Produkt also konvergent mit Wert .

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. Konrad Königsberger: Analysis 1 – 5. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41282-4; S. 74 (Ende von Abschnitt 6.3)
  2. The Multiplication of Conditionally Convergent Series, G. H. Hardy, Proceedings of the London Mathematical Society, Volume s2-6, Issue 1, 1908, Pages 410–423, doi:10.1112/plms/s2-6.1.410