Satz von Roth

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Der Satz von Roth ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie. Er besagt, dass es in bestimmten Teilmengen der ganzen Zahlen unendlich viele arithmetische Folgen der Länge gibt. Er wurde später durch den Satz von Szemerédi verallgemeinert.

Es sei eine Teilmenge der ganzen Zahlen mit positiver oberer Dichte:

,

dann gibt es in unendlich viele arithmetische Folgen der Länge , also der Form

mit .

Es sei eine ungerade Zahl und . Dann gibt es zu jedem ein , so dass für alle Mengen mit die Ungleichung

gilt.[1]

Dieser Satz gilt allgemeiner für 2-teilbare Gruppen[2]: Es sei eine kompakte 2-teilbare abelsche Gruppe mit Haarschem Wahrscheinlichkeitsmaß , dann gibt es zu jedem ein , so dass für jede messbare Menge mit die Ungleichung

gilt.

Eine stärkere Form ist der Satz von Roth-Khintschin.

Einzelnachweise

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  1. Varnavides: On certain sets of positive density. J. London Math. Soc. 34 1959 358–360.
  2. Meshulam: On subsets of finite abelian groups with no 3-term arithmetic progressions. J. Combin. Theory Ser. A 71 (1995), no. 1, 168–172.