Satz von Schur (Zahlentheorie)

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In der Zahlentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, behandelt der Satz von Schur (englisch theorem of I. Schur) eine Fragestellung, die anknüpft an diejenige des bertrandschen Postulats. Der Satz geht auf eine Publikation von Issai Schur (1875–1941) aus dem Jahre 1929 zurück, in der der Autor ihn als Hilfssatz zur Klärung von Irreduzibilitätsfragen bei Polynomen eines gewissen Typs heranzieht. Der schursche Satz schließt den Satz von Bertrand-Tschebyschow in sich ein.[1][2]

Darstellung des Satzes

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Er besagt folgendes:[3][4]

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen und mit .
Dann gilt:
Unter den aufeinanderfolgenden Zahlen
gibt es stets mindestens eine, die einen Primteiler besitzt.

Bestätigung des bertrandschen Postulats

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Betrachtet man im Satz von Schur den Fall , so erschließt sich, dass stets eine natürliche Zahl mit existiert, welche durch eine Primzahl teilbar ist. Dies ist indes nur möglich, wenn gilt, was dann das bertrandsche Postulat bestätigt.[4]

Ein schursches Irreduzibilitätkriterium

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Aus seinem Satz gewann Schur folgendes Kriterium:[3][5]

Jedes Polynom der Form
mit und beliebigen ganzzahligen Koeffizienten
ist über , dem Körper der rationalen Zahlen, irreduzibel.

Einzelnachweise

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  1. Harold N. Shapiro: Introduction to the Theory of Numbers. 1983, S. 369–374, S. 398–399
  2. Issai Schur: Gesammelte Abhandlungen. Band III. 1973, S. 140–173
  3. a b Issai Schur: Gesammelte Abhandlungen. Band III. 1973, S. 140
  4. a b Harold N. Shapiro: Introduction to the Theory of Numbers. 1983, S. 370
  5. Siegfried Gottwald et al. (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. 1990, S. 421