Der Schubkorrekturfaktor
dient in der Technischen Mechanik zur Berücksichtigung der Veränderung infolge Verwölbung durch Querkraftschub der Schubfläche
im Vergleich zur eigentlich ebenen Balken-Querschnittsfläche
.
Bei der Herleitung des Schubkorrekturfaktors
wird die Formänderungsenergie
der Querkraft
(Schnittgröße) mit der Formänderungsenergie
der realen Schubspannung
gleichgesetzt.
Die Formänderungsenergie
der Querkraft
kann mit der mittleren Gleitung
bestimmt werden:
![{\displaystyle \Pi _{Q}={\frac {1}{2}}\cdot Q\cdot \gamma _{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65ff5692355470293912c46ffd1417a4e509a1bc)
Für die mittlere Gleitung
setzen wir das Elastizitätsgesetz der Querkraft ein:
![{\displaystyle Q=\kappa \cdot G\cdot A\cdot \gamma \quad \Rightarrow \quad \gamma ={\frac {Q}{\kappa \cdot G\cdot A}}\quad \Rightarrow \quad \Pi _{Q}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}}{\kappa \cdot G\cdot A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a893f7296c5f5fb0eb93e63cbb09650e581e7c)
Die Formänderungsenergie
der realen Schubspannung
ergibt sich, indem die reale Schubspannung
über die Balken-Querschnittsfläche integriert wird:
![{\displaystyle \Pi _{\tau }=\int _{A}{\frac {1}{2}}\cdot \tau _{(z)}\cdot \gamma \cdot dA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4473efb5f7271bb0b2f81a6c27c61b2154e10f01)
Für
wird das Hookesche Gesetz mit
eingesetzt:
![{\displaystyle \Pi _{\tau }=\int _{A}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\tau _{(z)}^{2}}{G}}\cdot dA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c7575aa815d6c23e44d132aad0c90366984ced1)
Weiterhin wird für die reale Schubspannungsverteilung
die Gleichung
![{\displaystyle \tau _{(z)}={\frac {Q\cdot S_{y(z)}}{I_{y}\cdot b_{(z)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea1d3f4b3ea164ba457ef6758fd7c77257115d39)
eingesetzt:
![{\displaystyle \Pi _{\tau }=\int _{A}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}\cdot S_{y(z)}^{2}}{G\cdot I_{y}^{2}\cdot b_{(z)}^{2}}}\cdot dA={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}}{G\cdot I_{y}^{2}}}\cdot \int _{A}{\frac {S_{y(z)}^{2}}{b_{(z)}^{2}}}\cdot dA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211999e3a542d37d8f89de614d6bdedc7935b06a)
mit:
Balken-Querschnittsfläche
Statisches Moment
Schubmodul
axiales Flächenträgheitsmoment
Querschnittsbreite an der Stelle ![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
Werden beide Formänderungsenergien gleichgesetzt:
![{\displaystyle \Pi _{Q}=\Pi _{\tau }={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}}{\kappa \cdot G\cdot A}}={\frac {1}{2}}\cdot \int _{A}{\frac {Q^{2}\cdot S_{y(z)}^{2}}{G\cdot I_{y}^{2}\cdot b_{(z)}^{2}}}\cdot dA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5517e595b7eabf5ee771796e7b4256dbf8b972b4)
kann direkt nach dem Schubkorrekturfaktor
für dickwandige Querschnitte aufgelöst werden:
![{\displaystyle {\frac {1}{\kappa }}={\frac {A}{I_{y}^{2}}}\cdot \int _{A}{\frac {S_{y(z)}^{2}}{b_{(z)}^{2}}}\cdot dA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcbe81a20003adf9608138682f6fa87e1daeb6a7)
Auf gleiche Weise lässt sich auch der Schubkorrekturfaktor für dünnwandige Querschnitte herleiten. Hierbei muss lediglich die reale Schubspannung mit
![{\displaystyle \tau _{(z)}={\frac {Q\cdot S_{y(\zeta )}}{I_{y}\cdot b_{(\zeta )}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96c66596d61fb8e6eaa89886932075ff80a7d78)
eingesetzt werden. Damit folgt für den Schubkorrekturfaktor:
![{\displaystyle {\frac {1}{\kappa }}={\frac {A}{I_{y}^{2}}}\cdot \int _{\zeta }{\frac {S_{y(\zeta )}^{2}}{t_{(\zeta )}^{2}}}\cdot d\zeta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/337e838e810fb4e449d29376a39ae64c8e60def1)
Darin ist
die Laufkoordinate entlang der Profilmittellinie des dünnwandigen Querschnittes und
die Querschnittsbreite an der jeweiligen Laufkoordinate.
Querschnitt
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Schubkorrekturfaktor
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Rechteck
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Vollkreis
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dünnwandiger Kreisring
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I-Profil (DIN 1025-1)
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I-Profil, mittelbreit (DIN 1025-2)
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I-Profil, Breitflansch (DIN 1025-3)
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T-Profil (DIN 59051)
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Für dünnwandige Profile kann auch die von Robert Land eingeführte Näherung verwendet werden:
![{\displaystyle \kappa \approx {\frac {A_{\text{Steg}}}{A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/062635b587b72a46e7a82a0255034e72ab3e62f0)
In mancher Literatur wird für
der Kehrwert
verwendet. Damit würde z. B. die Formänderungsenergie der Querkraft
![{\displaystyle \Pi _{Q}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\kappa \cdot Q^{2}}{G\cdot A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10535231f1c5835ff5145562e67b9a6aafcca199)
lauten.
Christian Spura: Technische Mechanik 2. Elastostatik. 1. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-19978-4.