Standardmatrix

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Eine Standardmatrix, Standard-Einheitsmatrix oder Matrixeinheit ist in der Mathematik eine Matrix, bei der genau ein Eintrag eins ist und alle anderen Einträge null sind. Jede Standardmatrix lässt sich als dyadisches Produkt von kanonischen Einheitsvektoren darstellen. Die Menge der Standardmatrizen bildet die Standardbasis für den Matrizenraum. Sie werden unter anderem zur Definition von Elementarmatrizen verwendet, die beim gaußschen Eliminationsverfahren zum Einsatz kommen.

Ist ein Ring mit Nullelement und Einselement , dann ist die Standardmatrix die Matrix mit den Einträgen

für und .[1] Bei der Standardmatrix ist demnach der Eintrag an der Stelle gleich eins und alle anderen Einträge gleich null. Eine Standardmatrix wird auch als Standard-Einheitsmatrix[2] oder Matrixeinheit[3] bezeichnet und gelegentlich durch statt notiert.

Ist der Körper der reellen Zahlen und bezeichnen und die Zahlen Null und Eins, so sind Beispiele für Standardmatrizen der Größe :

Jede Standardmatrix lässt sich als dyadisches Produkt der beiden kanonischen Einheitsvektoren und darstellen, das heißt

,

wobei der transponierte Vektor zu ist. Mit Hilfe des Kronecker-Deltas lässt sich eine Standardmatrix auch durch

notieren.

Für die Transponierte einer Standardmatrix gilt

.

Damit sind nur die Standardmatrizen symmetrisch.

Für das Produkt zweier Standardmatrizen und gilt

wobei die Nullmatrix der Größe ist.

Für den Rang einer Standardmatrix gilt

.

Für die Determinante und die Spur einer quadratischen -Standardmatrix gilt entsprechend

  und   .

Das charakteristische Polynom einer quadratischen Standardmatrix über einem Körper ergibt sich zu

Im Fall ist demnach der einzige Eigenwert . Für existiert zusätzlich noch der Eigenwert mit einfacher Vielfachheit und zugehörigem Eigenvektor .

Matrixeinträge

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Mit Hilfe von Standardmatrizen können auch einzelne Matrixeinträge als Spur dargestellt werden. Ist , dann gilt

.

Für das Produkt zweier Matrizen und gilt entsprechend

.

Die Menge der Standardmatrizen über einem gegebenen Körper bildet die Standardbasis für den Vektorraum der Matrizen. Jede Matrix lässt sich somit als Linearkombination von Standardmatrizen durch

mit darstellen. So bilden die vier Standardmatrizen , , und die Standardbasis des Raums der -Matrizen und man erhält beispielsweise

.

Elementarmatrizen

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Standardmatrizen werden auch zur Darstellung der drei Typen von Elementarmatrizen der Form

mit als der Einheitsmatrix und verwendet. Durch Multiplikation von links mit einer solchen Elementarmatrix werden Reihenoperationen, Skalierungen und Transpositionen an einer gegebenen Matrix durchgeführt. Diese Elementarmatrizen kommen bei der Beschreibung des gaußschen Eliminationsverfahrens zur Lösung linearer Gleichungssysteme zum Einsatz.

Einzelnachweise

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  1. Voigt, Adamy: Formelsammlung der Matrizenrechnung. S. 8.
  2. Arens et al: Mathematik. S. 508.
  3. Artin: Algebra. S. 11.