Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren

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In der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren kann man ein Tensorprodukt definieren, mit dem man aus zwei Von-Neumann-Algebren eine dritte erhält. Da Von-Neumann-Algebren auf Hilberträumen operieren und dort gewisse Abschlusseigenschaften haben müssen, reicht die Bildung des algebraischen Tensorproduktes nicht aus; man verwendet daher die in diesem Artikel beschriebene Konstruktion.

Es seien und zwei Von-Neumann-Algebren auf den Hilberträumen und . Zwei Operatoren und definieren einen stetigen linearen Operator auf dem Hilbertraum-Tensorprodukt , und es gilt sogar (siehe Artikel Hilbertraum-Tensorprodukt). Die von allen Operatoren der Form mit und in erzeugte Von-Neumann-Algebra, das heißt der Abschluss der Menge aller endlichen Summen solcher Operatoren bezüglich der schwachen Operatortopologie, heißt das Tensorprodukt aus und und wird mit bezeichnet, wobei der Querstrich über dem Tensorproduktzeichen an die Abschlussoperation erinnern soll.[1][2]

Der Kommutantensatz

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Sind und zwei Von-Neumann-Algebren, und sowie und aus den Kommutanten bzw. , so ist klar, dass und in vertauschen, denn . Daraus ergibt sich sofort . Der Kommutantensatz sagt aus, dass hier sogar Gleichheit gilt[3]:

  • Sind und zwei Von-Neumann-Algebren, so gilt .

Eine einfache Konsequenz ist , was sich aber auch ohne Kommutantensatz leicht beweisen lässt.

Der Kommutantensatz kann auch benutzt werden, um zu zeigen, dass das Zentrum eines Tensorproduktes von Von-Neumann-Algebren gleich dem Tensorprodukt der Zentren ist. Insbesondere ist das Tensorprodukt von Faktoren wieder ein Faktor.[4]

Typ des Tensorprodukts

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Haben die Von-Neumann-Algebren und einen reinen Typ, so auch deren Tensorprodukt, und der Typ kann folgender Tabelle entnommen werden[5]:

endlich unendlich
endlich
unendlich

Im Allgemeinen hat eine Von-Neumann-Algebra keinen reinen Typ, sondern ist nach dem Satz von der Typzerlegung eine endliche direkte Summe von Von-Neumann-Algebren der Typen bzw. . Damit kann obige Tabelle zur Typbestimmung der Bestandteile des Tensorproduktes herangezogen werden.

Eine ganz ähnliche Konstruktion führt in der Theorie der C*-Algebren zum sogenannten räumlichen Tensorprodukt.

Einzelnachweise

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  1. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, § 11.2: Tensor products of von Neumann algebras
  2. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, I.2.4: Tensor products of von Neumann algebras
  3. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Theorem 11.2.16
  4. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, I.6.9: Tensor products of von Neumann algebras
  5. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Tabelle 11.1