Vaughans Identität

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Vaughans Identität ist eine Formel aus der analytischen Zahlentheorie für die Mangoldt-Funktion . Die Identität wurde 1977 von Robert Charles Vaughan veröffentlicht.[1]

Es existieren leicht verschiedene Formen der Identität, die aber allesamt gleichwertig sind. 1982 erschien eine Verallgemeinerung von Roger Heath-Brown.[2]

In vielen Problemstellungen der Zahlentheorie muss man Summen der Form

abschätzen, wobei die Mangoldt-Funktion ist und oft eine zahlentheoretische Funktion. Es gibt hierfür drei klassische Methoden[2]

  1. Winogradows Methode.[3]
  2. Null-Dichte-Methoden für Dirichletsche L-Funktionen (englisch zero density methods).[4]
  3. Vaughans Identität.

Winogradows Methode: Winogradow studierte trigonometrische Summen

und fand dabei eine Methode diese abzuschätzen. Er bewies damit seinen Satz von Winogradow. Seine Methode lässt sich auch auf summatorische Funktionen mit der Mangoldt-Funktion übertragen, jedoch ist sie nicht-trivial und schwieriger als die anderen beiden Methoden.

Null-Dichte-Methoden: Die zweite Methode behandelt Schranken für die Null-Dichte, dies sind obere Schranken für die Funktion , welche die Anzahl der Nullstellen der Funktion in der Region zählt. Solche Schranken wiederum können aus den Ungleichungen des großen Siebs hergeleitet werden.

Vaughans Identität

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Seien zwei positive Schranken und , dann lässt sich die Mangoldt-Funktion in vier Funktionen aufteilen[5][6]

wobei

und

bezeichnet die Möbius-Funktion, welche für natürliche Zahlen definiert ist.

Man unterscheidet zwei Fälle, für den ersten Fall ist nur relevant

Man kann zeigen, dass in diesem Fall und offensichtlich auch .

Im zweiten Fall sind hingegen nur die drei Summen relevant

Wir führen folgende Hilfsfunktionen ein[7]

Die Dirichletreihe mit der Mangoldt-Funktion lässt sich mit der logarithmischen Ableitung des Euler-Produkts als Zeta-Funktion schreiben

Die rechte Seite formt man nun mit Hilfe von und etwas um (durch ausmultiplizieren sieht man, dass beide Seiten äquivalent sind)

Jedes der kann als Dirichlet-Reihe dargestellt werden und somit

wobei der Koeffizient von in ist.

Als Nächstes schreiben wir die Mangoldt-Funktion um

wobei sich die rechte Seite daraus erklärt, dass wir über alle Kombinationen der Form summieren (da summiert man über alle Teiler) und . Teilen wir diese Summe in und auf, so ist ersteres . Die Summe mit schreiben wir um, indem wir den Logarithmus als summatorische Mangoldt-Funktion darstellen, und dann bringen wir sie durch ein kombinatorisches Argument auf die Menge mit einem Vorzeichenwechsel

Die rechte Seite lässt sich dann nochmals umschreiben und in und aufteilen, dann erhält man und .

Heath-Browns Identität

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Definiere für die Hilfsfunktion

Für gilt[8]

Einzelnachweise

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  1. Robert C. Vaughan: Sommes trigonométriques sur les nombres premiers. In: Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A. Band 285, Nr. 16, 1977, S. 981–983 (französisch).
  2. a b D. R. Heath-Brown: Prime Numbers in Short Intervals and a Generalized Vaughan Identity. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 34, Nr. 6, 1982, S. 1365–1377, doi:10.4153/CJM-1982-095-9.
  3. Iwan Matwejewitsch Winogradow: The Method Of Trigonometric Sums In The Theory Of Numbers. 1954, Kap. 9 (archive.org).
  4. Hugh L. Montgomery: Topics in multiplicative number theory. Hrsg.: Springer. Berlin 1971 (Kapitel 15 und 16).
  5. Alisa Sedunova: Points on algebraic curves over function fields, primes in arithmetic progressions : beyond Bombieri-Pila and Bombieri-Vinogradov theorems. Hrsg.: Universität Paris-Saclay. 2017, S. 56 (archives-ouvertes.fr – Doktorarbeit).
  6. Glyn Harman: Prime-Detecting Sieves. In: London Mathematical Society Monographs. Band 1, S. 25.
  7. Robert C. Vaughan: The Bombieri-Vinogradov Theorem. S. 19 (Lectures Notes).
  8. D. R. Heath-Brown: Prime Numbers in Short Intervals and a Generalized Vaughan Identity. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 34, Nr. 6, 1982, S. 1367, doi:10.4153/CJM-1982-095-9.