Kerbgrundkonzept

Das Kerbgrundkonzept (oder auch Kerbdehnungskonzept bzw. der Kerbdehnungsnachweis) ist ein örtliches Konzept, welches im Rahmen eines Betriebsfestigkeitsnachweises (betrachtet wird hierbei der Kerbgrund bzw. die höstbeanspruchte Stelle am Bauteil) zyklisch belasteter, geschweißter und nicht geschweißter Bauteile, zur Beurteilung der Ermüdungsfestigkeit herangezogen wird. Dabei wird eine Übertragbarkeit des einachsigen, zyklisch elastisch-plastischen Werkstoff- und Schädigungsverhaltens auf die höchstbeanspruchte Stelle des Bauteils, d. h. im Kerbgrund, unterstellt.

Grundlagen

Bei der Beurteilung der Ermüdungsfestigkeit bzw. der Lebensdauer von technischen Bauteilen werden, auf Basis von Kerbdehnungen (bzw. Spannungs-Dehnungs-Hysteresen), die elastisch-plastischen Dehnungsamplituden im Kerbgrund ermittelt und, vereinfacht gesagt, der Dehnungswöhlerlinie gegenübergestellt. Das Konzept basiert auf der Idee, dass das mechanische Verhalten im Kerbgrund identisch (bzw. vergleichbar), zu dem einer miniaturisierten, einachsig belasteten, ungekerbten (bzw. leicht gekerbten) Probe, im Bezug zum globalen Verformungs- und Schädigungsverhaltens ist.

Das Konzept beinhaltet die kerbmechanische Erweiterung des werkstoffprobenbasierten Kerbspannungsnachweises von der Dauerfestigkeit auf die Bereiche der Zeit- und Betriebsfestigkeit, wobei an die Stelle der elastischen Kerbspannungen die elastisch-plastischen Kerbdehnungen als wichtigste Beanspruchungskenngröße treten.

Dehnungswöhlerlinie

Typische Dehnungswöhlerlinie mit zugehörigen Parametern

Datei:Strain life curve st37.png

Dehnungswöhlerlinie eines Baustahls (St 37)

Die Basis zur Beschreibung der Wiederstandsfähigkeit des Werkstoffes bildet die Dehnungswöhlerlinie (siehe Bild:Typische Dehnungswöhlerlinie mit zugehörigen Parametern). Ermittelt wird diese normalerweise mittels einer polierten Probe in einem dehnungskontrollierten Versuch, bei konstantem Mittelspannungsverhältnis (normalerweise $R_{\varepsilon }=-1$, mittelspannungsfrei). Die Beziehung zwischen Dehnungsamplitude und Schwingspielzahl kann damit, für ein bestimmtes Mittelspannungsverhältnis, in der folgenden Form ausgedrückt werden (nach Manson, Coffin und Morrow):

$\varepsilon _{A}=\varepsilon _{A,el}+\varepsilon _{A,pl}={\frac {\sigma _{f}^{'}}{E}}\cdot (2N)^{b}+\varepsilon _{f}^{'}\cdot (2N)^{c}$

mit

$\varepsilon _{A}$ - Dehnungsamplitude,

$N$ - Schwingspiele ($N$ Schwingspiele = $2N$ Schwingumkehrungen),

$\sigma _{f}^{'}$ - Schwingfestigkeitskoeffizient,

$b$ - Schwingfestigkeitsexponent,

$\varepsilon _{f}^{'}$ - zyklischer Duktilitätskoeffizient,

$c$ - zyklischer Duktilitätsexponent,

$E$ - Elastizitätsmodul

Werkstofffließkurve bei zyklischer Belastung

Spannungs-Dehnungs-Hysteresen mit zugehöriger Last-Zeit-Folge, „Rechenbeispiel Kerbgrundkonzept“

Datei:Stress strain curve st37.png

Werkstofffließkurve eines Baustahls (St 37)

Zur Ermittlung der über-elastischen Spannungen bzw. Dehnungen im Kerbgrund wird ein (zyklisch stabilisiertes) Werkstoffgesetz benötigt. Hierzu kann der Ansatz von Ramberg und Osgood herangezogen werden. Als Resultat ergeben sich, für beliebige Last-Zeit-Folgen, Spannungs-Dehnungs-Hysteresen mit entsprechenden offenen und geschlossenen Hystereseästen in einem $\sigma$-$\varepsilon$-Diagramm (siehe Bild: "Spannungs-Dehnungs-Hysteresen […]"). Die zyklisch stabilisierte $\sigma$-$\varepsilon$-Kurve wird (für die Erstbelastung) wie folgt geschrieben:

$\varepsilon =\varepsilon _{el}+\varepsilon _{pl}={\frac {\sigma }{E}}+\left({\frac {\sigma }{K^{'}}}\right)^{n'}$,

wobei $K^{'}$ den Verfestigungskoeffizient und $n'$ den Verfestigungsexponent darstellen. Bei Wiederbelastung müssen zwei weitere Effekte berücksichtigt werden: das sogenannte Masing-Verhalten und die Memory-Gesetze (oder auch Memory-Effekte). Masing-Verhalten bedeutet, dass bei Wiederbelastung eine Spannungs- bzw. Dehnungsschwingbreite ($\Delta \sigma$, $\Delta \varepsilon$) angesetzt wird, die dem doppelten Amplitudenwert der Spannung bzw. Dehnung der Erstbelastungskurve entspricht, d. h. $\Delta \sigma =2\cdot \sigma$, $\Delta \varepsilon =2\cdot \varepsilon$. Unter Berücksichtigung des Masing-Verhaltens ergibt sich somit für die Wiederbelastungskurve:

$\Delta \varepsilon ={\frac {\Delta \sigma }{E}}+2\cdot \left({\frac {\Delta \sigma }{2\cdot K^{'}}}\right)^{n'}$,

Bei den Memory-Gesetzen (Memory-Effekten) handelt es sich um eine Art Werkstoffgedächtnis. Nach können drei verschiedene Formen von Memory-Gesetzen unterschieden werden (Memory 1 bis Memory 3, siehe Bild unten). Die folgende Beschreibung der Memory-Effekte wurde entnommen:

• Für die Erstbelastung gilt die Spannungs-Dehnungs-Kurve als Spannungs-Dehnungs-Pfad (zyklisch stabilisierte $\sigma$-$\varepsilon$-Kurve bzw. Erstbelastungskurve, Pfad 0–1).
• Memory 1: Nach dem Schließen einer Hystereseschleife (Wiederbelastungskurve unter Berücksichtigung des Masing-Verhaltens, $\Delta \sigma$-$\Delta \varepsilon$-Kurve), die auf der Erstbelastungskurve begonnen wurde (Pfad 1-2-1), verläuft der Spannungs-Dehnungs-Pfad weiter auf der Erstbelastungskurve (Pfad 1–3).
• Memory 2: Nach Schließen einer Hystereseschleife, die auf einem Schleifenast begonnen wurde (Pfad 4-5-4), folgt der Spannungs-Dehnungs-Pfad dem ursprünglichen Schleifenast (Pfad 3-4-6).
• Memory 3: Ein auf der Erstbelastungskurve begonnener Hysterese-Schleifenast (Pfad 3-4-6) endet, wenn der Spiegelpunkt 6 seines Startpunktes 3 im gegenüberliegenden Quadranten erreicht ist; sodann setzt sich der Spannungs-Dehnungs-Pfad auf der Erstbelastungskurve fort (Pfad 6–7).

Drei verschiedene Formen der „Werkstoffgedächtnisse“ nach

Kerbnäherungsbeziehung nach Neuber

Der Zusammenhang zwischen der äußeren Belastung und der lokalen Spannung bzw. Dehnung, lässt sich nach der Kerbnäherungsbeziehung nach Neuber, ausgehend von der Makrostützwirkungsformel, wie folgt herstellen.

$K_{t}^{2}=K_{\varepsilon }\cdot K_{\sigma }$ (Makrostützwirkungsformel),

dabei stellen $K_{t}$ die elastizitäts-theoretische Kerbformzahl, $K_{\varepsilon }$ und $K_{\sigma }$ die inelastischen Spannungs- bzw. Dehnungsformzahlen dar. Unter Berücksichtigung des Hookesches Gesetzes ($E={\frac {\sigma }{\varepsilon }}$) sowie des Zusammenhangs zwischen örtlicher (inelastischer) Spannung bzw. Dehnung und Nennspannung bzw. -dehnung ($K_{\varepsilon }={\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{n}}},K_{\sigma }={\frac {\sigma }{\sigma _{n}}}$) lässt sich die Neuber-Formel wie folgt schreiben:

${\frac {K_{t}^{2}\cdot \sigma _{n}^{2}}{E}}=\varepsilon \cdot \sigma$.

Soll wegen der Stützwirkung $n$ die Beanspruchung reduziert werden, kann statt der elastizitäts-theoretischen Kerbformzahl $K_{t}$ die ermüdungswirksame Kerbformzahl $K_{f}$ verwendet und dem oben beschriebenen Werkstoffgesetz gleichgesetzt werden:

Erstbelastung: ${\frac {K_{f}^{2}\cdot \sigma _{n}^{2}}{E}}=\left({\frac {\sigma }{E}}+\left({\frac {\sigma }{K^{'}}}\right)^{n'}\right)\cdot \sigma$

Wiederbelastung, Masing-Verhalten: ${\frac {K_{f}^{2}\cdot \Delta \sigma _{n}^{2}}{E}}=\left({\frac {\Delta \sigma }{E}}+2\cdot \left({\frac {\Delta \sigma }{2\cdot K^{'}}}\right)^{n'}\right)\cdot \Delta \sigma$