„Zassenhaus-Algorithmus“ – Versionsunterschied
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Der '''Zassenhaus-Algorithmus'''<ref>{{Literatur|Titel=Some Algorithms for Nilpotent Permutation Groups|Autor=Eugene M. Luks, Ferenc Rákóczi, Charles R. B. Wright|Jahr=1996|Seiten=15|Online=[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.44.4437 online]|Zugriff=2012-09-15}}</ref> ist ein [[Algorithmus]] zur Bestimmung von Schnitt- und Summenbasen von zwei [[Untervektorraum|Untervektorräumen]] in der [[Lineare Algebra|Linearen Algebra]]. Der Algorithmus ist nach dem [[Mathematiker]] [[Hans Julius Zassenhaus|Hans Zassenhaus]] benannt. Er findet Verwendung in [[Computeralgebrasystem]]en.<ref>{{Internetquelle|titel=GAP – Matrices|url=http://www.gap-system.org/Manuals/doc/ref/chap24.html|zugriff=2012-09-15}}</ref><ref>{{Internetquelle|titel=MeatAxe – Other Kernel Functions|url=http://www.math.rwth-aachen.de/~MTX/doc24/group__ff2.html|zugriff=2012-09-15}}</ref> |
Der '''Zassenhaus-Algorithmus'''<ref>{{Literatur|Titel=Some Algorithms for Nilpotent Permutation Groups|Autor=Eugene M. Luks, Ferenc Rákóczi, Charles R. B. Wright|Jahr=1996|Seiten=15|Online=[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.44.4437 online]|Zugriff=2012-09-15}}</ref> ist ein [[Algorithmus]] zur Bestimmung von Schnitt- und Summenbasen von zwei [[Untervektorraum|Untervektorräumen]] in der [[Lineare Algebra|Linearen Algebra]]. Der Algorithmus ist nach dem [[Mathematiker]] [[Hans Julius Zassenhaus|Hans Zassenhaus]] benannt, eine fachwissenschaftliche Veröffentlichung des Algorithmus durch Zassenhaus ist jedoch nicht bekannt<ref>Fischer, S. 210</ref>. Er findet Verwendung in [[Computeralgebrasystem]]en.<ref>{{Internetquelle|titel=GAP – Matrices|url=http://www.gap-system.org/Manuals/doc/ref/chap24.html|zugriff=2012-09-15}}</ref><ref>{{Internetquelle|titel=MeatAxe – Other Kernel Functions|url=http://www.math.rwth-aachen.de/~MTX/doc24/group__ff2.html|zugriff=2012-09-15}}</ref> |
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* {{Literatur|DOI=10.1007/978-3-8348-2379-3|ISBN=978-3-8348-2378-6|Titel=Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie|Autor=[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]|Verlag=[[Vieweg+Teubner]]|Jahr=2012|Ort=Wiesbaden|Seiten=207-210}} |
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Version vom 30. September 2012, 12:12 Uhr
Der Zassenhaus-Algorithmus[1] ist ein Algorithmus zur Bestimmung von Schnitt- und Summenbasen von zwei Untervektorräumen in der Linearen Algebra. Der Algorithmus ist nach dem Mathematiker Hans Zassenhaus benannt, eine fachwissenschaftliche Veröffentlichung des Algorithmus durch Zassenhaus ist jedoch nicht bekannt[2]. Er findet Verwendung in Computeralgebrasystemen.[3][4]
Algorithmus
Voraussetzungen
Es sei ein Vektorraum und zwei endlichdimensionale Untervektorräume von , von denen jeweils ein Erzeugendensystem bekannt ist:
und
- .
Schließlich benötigt man noch linear unabhängige Vektoren , in denen die Darstellung
und
bekannt ist.
Ziel des Algorithmus
Gesucht sind Basen der Summe und der Schnittmenge .
Algorithmus
Man stelle die folgende ()-Matrix als Blockmatrix
auf. Mithilfe der Zeilenumformungen führe man diese Matrix über in eine Matrix in Stufenform der folgenden Gestalt:
Dabei seien die Vektoren für und für nicht die Nullvektoren.
Dann ist mit
eine Basis von und mit
eine Basis von .
Beispiel
Gegeben seien die beiden Untervektorräume und des .
Indem man als die Einheitsbasis des verwendet, muss man die folgende Matrix
mittels elementarer Zeilenumformungen auf Stufenform bringen. Dies liefert schließlich
- .
Demnach ist eine Basis von , und ist eine Basis von .
Literatur
- Gerd Fischer: Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-2378-6, S. 207–210, doi:10.1007/978-3-8348-2379-3.
Weblinks
- Mathematik-Online-Lexikon: Zassenhaus-Algorithmus. Abgerufen am 15. September 2012.
- Demonstration des Zassenhaus-Algorithmus mit Zwischenschritten. Abgerufen am 15. September 2012.
Einzelnachweise
- ↑ Eugene M. Luks, Ferenc Rákóczi, Charles R. B. Wright: Some Algorithms for Nilpotent Permutation Groups. 1996, S. 15 (online [abgerufen am 15. September 2012]).
- ↑ Fischer, S. 210
- ↑ GAP – Matrices. Abgerufen am 15. September 2012.
- ↑ MeatAxe – Other Kernel Functions. Abgerufen am 15. September 2012.