„Spinnwebdiagramm“ – Versionsunterschied
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⚫ | Ein '''Spinnwebdiagramm''', '''Spinnwebplot''' oder '''Verhulst-Diagramm''' ist ein visuelles Werkzeug, das im Gebiet der [[Dynamisches System| dynamischen Systeme]] der [[Mathematik]] zur Betrachtung des qualitativen Verhaltens von eindimensionalen [[Iteriertes Funktionensystem|iterierten Funktionen]] wie der [[Logistische Abbildung|logistischen Abbildung]] verwendet wird. Wird das Spinnwebdiagramm verwendet, ist es möglich, auf den Langzeitstatus einer Anfangsbedingung unter wiederholter Anwendung der Abbildung zu schließen.<ref name="Stoop">{{Literatur | Autor= Ruedi Stoop, Willi-Hans Steeb|Titel = Berechenbares Chaos in dynamischen Systemen | Verlag = Birkhäuser Basel | Jahr = 2006 | ISBN = 978-3-7643-7550-8 | Seiten = 8}} </ref> |
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Auf dem Spinnwebdiagramm entspricht ein stabiler [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkt]] einer Einwärtspirale, ein instabiler Fixpunkt einer Auswärtspirale. Es folgt aus der Definition eines Fixpunkts, dass diese Spiralen ein Zentrum haben, bei welchem die Diagonalenlinie <math>y=x</math> den Funktionsgraphen schneidet. Ein [[Dynamisches System| Orbit]] mit Periode 2 ist durch ein Rechteck repräsentiert, wobei größere Periodenzyklen weitere, komplexer geschlossene Schleifen bilden. Ein [[Chaos-Theorie|chaotischer]] Orbit zeigt sich als „ausgefüllte“ Fläche, die eine unendliche Anzahl von sich nicht wiederholenden Zahlen anzeigt.<ref |
Auf dem Spinnwebdiagramm entspricht ein stabiler [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkt]] einer Einwärtspirale, ein instabiler Fixpunkt einer Auswärtspirale. Es folgt aus der Definition eines Fixpunkts, dass diese Spiralen ein Zentrum haben, bei welchem die Diagonalenlinie <math>y=x</math> den Funktionsgraphen schneidet. Ein [[Dynamisches System| Orbit]] mit Periode 2 ist durch ein Rechteck repräsentiert, wobei größere Periodenzyklen weitere, komplexer geschlossene Schleifen bilden. Ein [[Chaos-Theorie|chaotischer]] Orbit zeigt sich als „ausgefüllte“ Fläche, die eine unendliche Anzahl von sich nicht wiederholenden Zahlen anzeigt.<ref name="Stoop"/> |
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== Einzelnachweise == |
== Einzelnachweise == |
Version vom 29. August 2014, 21:00 Uhr
Ein Spinnwebdiagramm, Spinnwebplot oder Verhulst-Diagramm ist ein visuelles Werkzeug, das im Gebiet der dynamischen Systeme der Mathematik zur Betrachtung des qualitativen Verhaltens von eindimensionalen iterierten Funktionen wie der logistischen Abbildung verwendet wird. Wird das Spinnwebdiagramm verwendet, ist es möglich, auf den Langzeitstatus einer Anfangsbedingung unter wiederholter Anwendung der Abbildung zu schließen.[1]
Methode
Für eine gegebene zu iterierende Funktion besteht der Plot aus der Diagonalen und der Kurve . Um das Verhalten eines Startwerts darzustellen, wendet man folgende Schritte an.
- Finde den Punkt auf der Funktionskurve mit x-Koordinate . Dieser Punkt hat die Koordinaten ().
- Ziehe eine horizontale Linie durch diesen Punkt zur Diagonalen. Dieser Punkt hat die Koordinaten ().
- Ziehe eine vertikale Linie von diesem Punkt auf der Diagonalen zu der Funktionskurve. Dieser Punkt hat die Koordinaten ().
- Wiederhole diese Schritte von Schritt 2 an.
Interpretation
Auf dem Spinnwebdiagramm entspricht ein stabiler Fixpunkt einer Einwärtspirale, ein instabiler Fixpunkt einer Auswärtspirale. Es folgt aus der Definition eines Fixpunkts, dass diese Spiralen ein Zentrum haben, bei welchem die Diagonalenlinie den Funktionsgraphen schneidet. Ein Orbit mit Periode 2 ist durch ein Rechteck repräsentiert, wobei größere Periodenzyklen weitere, komplexer geschlossene Schleifen bilden. Ein chaotischer Orbit zeigt sich als „ausgefüllte“ Fläche, die eine unendliche Anzahl von sich nicht wiederholenden Zahlen anzeigt.[1]
Einzelnachweise
- ↑ a b Ruedi Stoop, Willi-Hans Steeb: Berechenbares Chaos in dynamischen Systemen. Birkhäuser Basel, 2006, ISBN 978-3-7643-7550-8, S. 8.