Fixpunkt (Mathematik)

Darstellung eines Fixpunktes. Dieser ist - nach den im Text wiedergegebenen Kriterien - anziehend, das heißt stabil.

In der Mathematik versteht man unter einem Fixpunkt einen Punkt, der durch eine gegebene Abbildung auf sich abgebildet wird. Die Fixpunkte einer Achsenspiegelung sind die Punkte der Spiegelachse. Eine Punktspiegelung hat nur einen Fixpunkt, nämlich deren Zentrum.

Definition

Sei $X \subset \R^n$ eine Teilmenge (oder allgemeiner ein topologischer Raum) und $f \colon X \to X$ eine stetige Abbildung, dann heißt ein Punkt $x \in X$ Fixpunkt, falls er die Gleichung $f(x) = x$ erfüllt.

Anmerkungen

• Ist $f \colon X \to X$ eine lineare Abbildung auf dem Vektorraum $X$, dann nennt man die Fixpunkte von $f$ auch Fixvektoren. Insbesondere sind Fixvektoren also Eigenvektoren von $f$ bezüglich des Eigenwerts 1.
• Da sich jede Gleichung $f(x) = y$ in eine Fixpunktform mit $g(x) = f(x) - y + x$ umwandeln lässt, sind Fixpunktgleichungen ein Prototyp auch von nichtlinearen Gleichungen.

Fixpunkte in der Numerik

Darüber hinaus gilt folgendes: Der Fixpunkt ist stabil bzw. instabil, wenn |f '(x)|, der Betrag der Ableitung der betrachteten Funktion, im Schnittpunkt <1 bzw. >1 ist. Anschaulich bedeutet dies, dass man die Funktion auf den Punkt selbst anwenden kann, ohne ihn zu verändern, wobei eine Störung wenig (bzw. viel) ändert, indem sie zum Fixpunkt hinführt (bzw. vom Fixpunkt wegführt).

Mit dem Fixpunktproblem verwandt ist das Problem der „iterierten Abbildungen“, das in der Numerik und der Chaosforschung wichtig ist. Mit einem vorgegebenen Anfangswert $x_1$ beginnend, springt man hier nach dem Schema $x_{n+1}=f(x_n)$ treppenartig zwischen der Funktion $f(x)$ und der Diagonale hin und her, und zwar zum Fixpunkt hin oder weg von ihm, je nachdem ob der Fixpunkt stabil oder instabil ist. Einzelheiten sind u.a. dem unten angegebenen Buch von H.G. Schuster zu entnehmen.

Beispiele

• Die Parabelfunktion $f : \R \to \R$ die durch $f(x) = x^2$ gegeben ist, hat die zwei Fixpunkte 0 und 1.
• Sei $V$ ein Vektorraum und $\operatorname{Id} : V \to V$ die identische Abbildung, also die Abbildung mit $\operatorname{Id} x = x$, dann sind alle $x \in V$ Fixpunkte.
• Sei $\mathcal{S}$ der Schwartz-Raum und $\mathcal{F} : \mathcal{S} \to \mathcal{S}$ die kontinuierliche Fourier-Transformation. Für die Dichtefunktion $\varphi(x)=\tfrac {1}{\sqrt{2\pi}^n} \cdot e^{-\tfrac {1}{2} x^2}$ der $n$-dimensionalen Normalverteilung gilt $\mathcal{F}(\varphi) = \varphi$. Daher ist die Dichtefunktion der Normalverteilung ein Fixpunkt der Fourier-Transformation.

Raum mit Fixpunkteigenschaft

Definition

Ein topologischer Raum $X$ besitzt die Fixpunkteigenschaft, falls jede stetige Abbildung $f \colon X \to X$ einen Fixpunkt hat.

Beispiele

• Die Sphäre $S^n$ besitzt die Fixpunkteigenschaft nicht, denn die Punktspiegelung am Mittelpunkt hat keinen Fixpunkt.
• Eine Vollkugel $D^n$ hat die Fixpunkteigenschaft. Dies besagt der Fixpunktsatz von Brouwer.

Fixpunktsätze

→ Hauptartikel: Fixpunktsatz

Die Existenz von Fixpunkten ist Gegenstand einiger wichtiger mathematischer Sätze. Der Banach'sche Fixpunktsatz besagt, dass eine Kontraktion eines vollständigen metrischen Raumes genau einen Fixpunkt besitzt. Wenn eine Selbstabbildung nur stetig ist, muss der Fixpunkt nicht eindeutig sein und andere Fixpunktsätze zeigen dann nur die Existenz. Dabei stellen sie meist stärkere Voraussetzungen an den Raum, auf dem die Funktion definiert ist. Beispielsweise zeigt der Fixpunktsatz von Schauder die Existenz eines Fixpunktes in einer kompakten, konvexen Teilmenge eines Banachraums. Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung des Fixpunktsatzes von Brouwer, der besagt, dass jede stetige Abbildung der abgeschlossenen Einheitskugel in sich selbst einen Fixpunkt besitzt. (In popularisierter Form ist der Satz auch als „Satz vom Igel“ bekannt: "Jeder stetig gekämmte Igel besitzt mindestens einen Glatzpunkt“.) Im Gegensatz zu den beiden anderen Sätzen gilt dieser allerdings nur in endlichdimensionalen Räumen, also im $\mathbb{R}^n$ oder im $\mathbb{C}^n$.

Der Fixpunktsatz von Banach liefert außerdem die Konvergenz und eine Fehlerabschätzung der Fixpunkt-Iteration $x_{n+1}=f(x_n)$ im betrachteten Raum. Dieser Satz ergibt somit ein konkretes numerisches Verfahren zur Berechnung von Fixpunkten.

Siehe auch

• Fixgerade
• Fixpunktgerade

Literatur

• Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7