„Inversionssatz von Shannon“ – Versionsunterschied
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Der '''Inversionssatz von Shannon''' ist ein bedeutender, von [[Claude Shannon]] stammender Satz in der [[Boolesche Algebra|Booleschen Algebra]], der eine Verallgemeinerung der [[De Morgansche Gesetze|De Morganschen Gesetze]] für algebraische Ausdrücke mit Booleschen Größen darstellt. Demnach kann die Inversion eines jeden solchen Ausdrucks, sofern er nur mittels der Operatoren ∧, ∨ und ¬ (d.h. Konjunktion, Disjunktion und Negation) gebildet wurde, erreicht werden, indem man ∧ und ∨ vertauscht und jedes Literal negiert. Dabei werden Literale als Boolesche Größen A, B, C, ... sowie ¬A, ¬B, ¬C, ... verstanden, also als nicht zusammengesetzte einfache oder negierte Größen. |
Der '''Inversionssatz von Shannon''' ist ein bedeutender, von [[Claude Shannon]] stammender Satz in der [[Boolesche Algebra|Booleschen Algebra]], der eine Verallgemeinerung der [[De Morgansche Gesetze|De Morganschen Gesetze]] für algebraische Ausdrücke mit Booleschen Größen darstellt. Demnach kann die Inversion eines jeden solchen Ausdrucks, sofern er nur mittels der Operatoren ∧, ∨ und ¬ (d.h. Konjunktion, Disjunktion und Negation) gebildet wurde, erreicht werden, indem man ∧ und ∨ vertauscht und jedes Literal negiert. Dabei werden Literale als Boolesche Größen A, B, C, ... sowie ¬A, ¬B, ¬C, ... verstanden, also als nicht zusammengesetzte einfache oder negierte Größen. |
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=== Formulierung des Satzes === |
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Sei <math>f:X^n\rightarrow X</math> eine [[Boolesche Funktion]] auf <math>n\in \mathbb{N}</math> Literalen <math>x_1\in X_1,...,x_n\in X_n</math> und dem Operatorentupel <math>(\or,\and)</math>. Dann gilt: |
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<math>\overline{f(x_1, x_2, ..., x_n, \or, \and)} = f(\overline{x_1}, \overline{x_2}, ..., \overline{x_n}, \and, \or)</math><ref>{{Literatur|Autor = Prof. Dr.-Ing. Roland Woitowitz, Prof. Dr.-Ing. Klaus Urbanski|Titel = Digitaltechnik - Ein Lehr- und Übungsbuch|Herausgeber =|Sammelwerk =|Band =|Nummer =|Auflage = 5., neu bearbeitete und erweiterte Auflage|Verlag = Springer Verlag|Ort =|Jahr = 2007|Seiten = 31|ISBN = 978-3-540-73672-1}}</ref> |
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[[Kategorie:Algebra]] |
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[[Kategorie:Mathematische Logik]] |
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Version vom 24. März 2016, 17:27 Uhr
Der Inversionssatz von Shannon ist ein bedeutender, von Claude Shannon stammender Satz in der Booleschen Algebra, der eine Verallgemeinerung der De Morganschen Gesetze für algebraische Ausdrücke mit Booleschen Größen darstellt. Demnach kann die Inversion eines jeden solchen Ausdrucks, sofern er nur mittels der Operatoren ∧, ∨ und ¬ (d.h. Konjunktion, Disjunktion und Negation) gebildet wurde, erreicht werden, indem man ∧ und ∨ vertauscht und jedes Literal negiert. Dabei werden Literale als Boolesche Größen A, B, C, ... sowie ¬A, ¬B, ¬C, ... verstanden, also als nicht zusammengesetzte einfache oder negierte Größen.
Formulierung des Satzes
Sei eine Boolesche Funktion auf Literalen und dem Operatorentupel . Dann gilt:
- ↑ Prof. Dr.-Ing. Roland Woitowitz, Prof. Dr.-Ing. Klaus Urbanski: Digitaltechnik - Ein Lehr- und Übungsbuch. 5., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, 2007, ISBN 978-3-540-73672-1, S. 31.